Номер 2.30, страница 96, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.30. Выборка задана таблицей частот:

Вычислите выборочное среднее, дисперсию и стандартное отклонение.

Для решения задачи необходимо последовательно вычислить три статистические характеристики для заданной выборки. Имеем частотную таблицу:

Сначала определим объем выборки $\text{N}$, который равен сумме всех частот:

$N = \sum n_i = 20 + 10 + 14 + 6 = 50$

Выборочное среднее

Выборочное среднее $\bar{x}$ вычисляется по формуле взвешенного среднего:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{N}$

Найдем сумму произведений вариант на соответствующие им частоты:

$\sum_{i=1}^{k} x_i n_i = (1 \cdot 20) + (5 \cdot 10) + (9 \cdot 14) + (13 \cdot 6) = 20 + 50 + 126 + 78 = 274$

Теперь вычислим выборочное среднее:

$\bar{x} = \frac{274}{50} = 5.48$

Ответ: 5.48

Дисперсия

Выборочная дисперсия $D_B$ (или $s^2$) — это средний квадрат отклонений вариант от выборочного среднего. Для удобства расчетов воспользуемся формулой:

$D_B = \overline{x^2} - (\bar{x})^2$, где $\overline{x^2} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i^2 n_i}{N}$

Сначала найдем среднее значение квадратов вариант $\overline{x^2}$. Для этого вычислим сумму $\sum_{i=1}^{k} x_i^2 n_i$:

$\sum_{i=1}^{k} x_i^2 n_i = (1^2 \cdot 20) + (5^2 \cdot 10) + (9^2 \cdot 14) + (13^2 \cdot 6)$

$= (1 \cdot 20) + (25 \cdot 10) + (81 \cdot 14) + (169 \cdot 6) = 20 + 250 + 1134 + 1014 = 2418$

Теперь найдем $\overline{x^2}$:

$\overline{x^2} = \frac{2418}{50} = 48.36$

Подставим найденные значения $\overline{x^2}$ и $\bar{x}$ в формулу для дисперсии:

$D_B = 48.36 - (5.48)^2 = 48.36 - 30.0304 = 18.3296$

Ответ: 18.3296

Стандартное отклонение

Стандартное (или среднее квадратическое) отклонение $\sigma_B$ (или $\text{s}$) — это корень квадратный из дисперсии. Оно показывает, на сколько в среднем значения в выборке отклоняются от среднего.

$\sigma_B = \sqrt{D_B}$

Подставим значение дисперсии:

$\sigma_B = \sqrt{18.3296} \approx 4.281308...$

Округлим результат до четырех знаков после запятой.

Ответ: $\approx 4.2813$