Номер 2.33, страница 97, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.33. Выборка задана интервальной таблицей частот:

Интервал: [10; 12) [12; 14) [14; 16) [16; 18) [18; 20) [20; 22) [22; 24)

$n_i$ - частота: 2 4 8 12 16 10 3

Вычислите выборочное среднее, дисперсию и стандартное отклонение.

Для решения задачи по вычислению статистических характеристик для интервальной выборки, необходимо сначала перейти от интервального ряда к дискретному. Для этого каждый интервал заменяется его серединой $x_i$.

1. Подготовительный этап: составление расчетной таблицы.

Найдем середину для каждого интервала и объем выборки $\text{n}$.

• $x_1 = (10+12)/2 = 11$
• $x_2 = (12+14)/2 = 13$
• $x_3 = (14+16)/2 = 15$
• $x_4 = (16+18)/2 = 17$
• $x_5 = (18+20)/2 = 19$
• $x_6 = (20+22)/2 = 21$
• $x_7 = (22+24)/2 = 23$

Объем выборки $\text{n}$ равен сумме всех частот:

$n = \sum n_i = 2+4+8+12+16+10+3 = 55$.

Составим расширенную таблицу для удобства дальнейших вычислений:

Выборочное среднее

Выборочное среднее $\bar{x}$ находим по формуле взвешенного среднего:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} n_i x_i}{n}$

Подставляя значения из таблицы:

$\bar{x} = \frac{981}{55} \approx 17.83636...$

Ответ: $\bar{x} \approx 17.836$

Дисперсия

Вычисляем выборочную (несмещенную) дисперсию $s^2$. Для этого можно использовать следующую формулу:

$s^2 = \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^{k} n_i x_i^2 - n \bar{x}^2 \right)$ или $s^2 = \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^{k} n_i x_i^2 - \frac{(\sum n_i x_i)^2}{n} \right)$

Воспользуемся второй формулой и значениями из таблицы, чтобы минимизировать ошибку округления:

$s^2 = \frac{1}{55-1} \left( 17959 - \frac{981^2}{55} \right) = \frac{1}{54} \left( 17959 - \frac{962361}{55} \right)$

$s^2 = \frac{1}{54} \left( \frac{17959 \cdot 55 - 962361}{55} \right) = \frac{1}{54} \left( \frac{987745 - 962361}{55} \right)$

$s^2 = \frac{1}{54} \cdot \frac{25384}{55} = \frac{25384}{2970} = \frac{12692}{1485} \approx 8.5468...$

Ответ: $s^2 \approx 8.547$

Стандартное отклонение

Стандартное (среднее квадратическое) отклонение $\text{s}$ является квадратным корнем из дисперсии:

$s = \sqrt{s^2}$

Подставляя вычисленное значение дисперсии:

$s = \sqrt{8.5468...} \approx 2.92349...$

Ответ: $s \approx 2.923$