Номер 2.31, страница 96, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.31. В таблице показаны очки, набранные Нуркеном и Ергазы в 8 баскетбольных играх:

Очки, набранные Нуркеном: 23, 17, 31, 25, 25, 19, 28, 32

Очки, набранные Ергазы: 9, 29, 41, 26, 14, 44, 38, 43

Для каждого игрока вычислите среднее количество очков и стандартное отклонение. Кого из двух игроков вы считаете сильнее и почему?

Для решения задачи необходимо для каждого игрока последовательно вычислить среднее количество очков и стандартное отклонение.

Расчеты для Нуркена

Данные по очкам, набранным Нуркеном в 8 играх: 23, 17, 31, 25, 25, 19, 28, 32.

1. Среднее количество очков (математическое ожидание $\mu_Н$). Оно равно сумме всех набранных очков, разделенной на количество игр ($n=8$):

$\mu_Н = \frac{23 + 17 + 31 + 25 + 25 + 19 + 28 + 32}{8} = \frac{200}{8} = 25$ очков.

2. Стандартное отклонение ($\sigma_Н$). Этот показатель отражает меру разброса данных относительно среднего значения. Формула для вычисления: $\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2}{n}}$.

Сначала найдем сумму квадратов отклонений от среднего значения:

$\sum(x_i - \mu_Н)^2 = (23-25)^2 + (17-25)^2 + (31-25)^2 + (25-25)^2 + (25-25)^2 + (19-25)^2 + (28-25)^2 + (32-25)^2$

$= (-2)^2 + (-8)^2 + 6^2 + 0^2 + 0^2 + (-6)^2 + 3^2 + 7^2 = 4 + 64 + 36 + 0 + 0 + 36 + 9 + 49 = 198$.

Теперь вычислим дисперсию ($\sigma_Н^2$) — средний квадрат отклонений:

$\sigma_Н^2 = \frac{198}{8} = 24.75$.

Стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии:

$\sigma_Н = \sqrt{24.75} \approx 4.975$.

Ответ: Среднее количество очков, набранных Нуркеном, равно 25; стандартное отклонение составляет приблизительно 4.975.

Расчеты для Ергазы

Данные по очкам, набранным Ергазы в 8 играх: 9, 29, 41, 26, 14, 44, 38, 43.

1. Среднее количество очков ($\mu_Е$):

$\mu_Е = \frac{9 + 29 + 41 + 26 + 14 + 44 + 38 + 43}{8} = \frac{244}{8} = 30.5$ очков.

2. Стандартное отклонение ($\sigma_Е$):

Сумма квадратов отклонений от среднего значения:

$\sum(x_i - \mu_Е)^2 = (9-30.5)^2 + (29-30.5)^2 + (41-30.5)^2 + (26-30.5)^2 + (14-30.5)^2 + (44-30.5)^2 + (38-30.5)^2 + (43-30.5)^2$

$= (-21.5)^2 + (-1.5)^2 + (10.5)^2 + (-4.5)^2 + (-16.5)^2 + (13.5)^2 + (7.5)^2 + (12.5)^2$

$= 462.25 + 2.25 + 110.25 + 20.25 + 272.25 + 182.25 + 56.25 + 156.25 = 1262$.

Дисперсия ($\sigma_Е^2$):

$\sigma_Е^2 = \frac{1262}{8} = 157.75$.

Стандартное отклонение:

$\sigma_Е = \sqrt{157.75} \approx 12.56$.

Ответ: Среднее количество очков, набранных Ергазы, равно 30.5; стандартное отклонение составляет приблизительно 12.56.

Сравнение игроков и вывод

Сравним полученные статистические показатели. Для Нуркена среднее количество очков составляет $\mu_Н = 25$ при стандартном отклонении $\sigma_Н \approx 4.98$. Для Ергазы среднее количество очков равно $\mu_Е = 30.5$ при стандартном отклонении $\sigma_Е \approx 12.56$.

Ергазы имеет более высокое среднее количество очков за игру ($30.5 > 25$). Это говорит о том, что в среднем он является более результативным игроком, и по этому показателю его можно считать "сильнее".

Однако стандартное отклонение у Ергазы значительно выше, чем у Нуркена ($12.56$ против $4.98$). Это указывает на то, что игра Ергазы очень нестабильна: он может показать как блестящий результат (44 очка), так и довольно слабый (9 очков). Нуркен, в свою очередь, демонстрирует гораздо более стабильные и предсказуемые результаты, его количество очков в каждой игре несильно отклоняется от среднего.

В баскетболе, как правило, игрок с более высокой средней результативностью считается более сильным в атаке. Хотя стабильность также является ценным качеством, больший вклад в итоговый счет команды в среднем часто является решающим фактором.

Ответ: Сильнее можно считать Ергазы, поскольку его среднее количество очков за игру (30.5) выше, чем у Нуркена (25). Это указывает на его большую атакующую мощь и результативность, несмотря на то, что его игра менее стабильна.