Номер 2.35, страница 97, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.35. Найдите сумму ординат точек экстремума функции

$f(x) = \frac{x^3}{x^2-3}$

Для нахождения суммы ординат точек экстремума функции необходимо сначала найти сами точки экстремума. Точки экстремума — это критические точки, в которых производная функции меняет свой знак.

Дана функция $f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 3}$.

Область определения функции: $x^2 - 3 \neq 0$, то есть $x \neq \pm\sqrt{3}$.

1. Нахождение производной и критических точек.

Найдем производную функции $f(x)$ по правилу дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{(x^3)'(x^2 - 3) - x^3(x^2 - 3)'}{(x^2 - 3)^2} = \frac{3x^2(x^2 - 3) - x^3(2x)}{(x^2 - 3)^2}$

$f'(x) = \frac{3x^4 - 9x^2 - 2x^4}{(x^2 - 3)^2} = \frac{x^4 - 9x^2}{(x^2 - 3)^2}$

Критические точки находятся из условия $f'(x) = 0$:

$\frac{x^4 - 9x^2}{(x^2 - 3)^2} = 0$

Числитель должен быть равен нулю:

$x^4 - 9x^2 = 0$

$x^2(x^2 - 9) = 0$

$x^2(x - 3)(x + 3) = 0$

Отсюда получаем критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$, $x_3 = -3$. Все эти точки входят в область определения функции.

2. Анализ критических точек.

Исследуем знак производной $f'(x) = \frac{x^2(x - 3)(x + 3)}{(x^2 - 3)^2}$ в окрестности каждой критической точки. Знаменатель $(x^2 - 3)^2$ и множитель $x^2$ всегда неотрицательны, поэтому знак производной определяется знаком выражения $(x - 3)(x + 3)$.

• При переходе через точку $x = -3$ слева направо, знак производной меняется с «+» на «−». Следовательно, $x = -3$ — точка локального максимума.
• При переходе через точку $x = 0$ знак производной не меняется (она отрицательна слева и справа от точки, за исключением самой точки). Следовательно, в точке $x = 0$ экстремума нет.
• При переходе через точку $x = 3$ слева направо, знак производной меняется с «−» на «+». Следовательно, $x = 3$ — точка локального минимума.

Таким образом, точки экстремума функции: $x = -3$ и $x = 3$.

3. Вычисление ординат и их суммы.

Найдем ординаты (значения функции) в точках экстремума.

Ордината в точке максимума $x = -3$:

$y_1 = f(-3) = \frac{(-3)^3}{(-3)^2 - 3} = \frac{-27}{9 - 3} = \frac{-27}{6} = -\frac{9}{2}$.

Ордината в точке минимума $x = 3$:

$y_2 = f(3) = \frac{3^3}{3^2 - 3} = \frac{27}{9 - 3} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$.

Сумма ординат точек экстремума равна:

$S = y_1 + y_2 = -\frac{9}{2} + \frac{9}{2} = 0$.

Дополнительное замечание: можно заметить, что функция $f(x)$ является нечетной, поскольку $f(-x) = \frac{(-x)^3}{(-x)^2 - 3} = \frac{-x^3}{x^2 - 3} = -f(x)$. Для нечетной функции, если $x_0 \neq 0$ является точкой экстремума, то $-x_0$ также является точкой экстремума, и их ординаты противоположны: $f(-x_0) = -f(x_0)$. Следовательно, их сумма $f(x_0) + f(-x_0)$ равна нулю. Так как мы установили, что точки экстремума это $x=3$ и $x=-3$, сумма их ординат равна 0.

Ответ: 0