Номер 3.2, страница 104, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.2. При каких значениях х выполняется равенство:

1) $\sqrt{x^2} = x$;

2) $\sqrt[3]{x^3} = x$;

3) $\sqrt[4]{x^4} = -x?$

1) По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{x^2} = |x|$. Тогда исходное равенство принимает вид $|x| = x$. Согласно определению модуля числа, данное равенство выполняется тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неотрицательно, то есть $x \ge 0$.

Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

2) Для любого нечетного показателя корня $\text{n}$ и любого действительного числа $\text{x}$ справедливо тождество $\sqrt[n]{x^n} = x$. В данном случае показатель корня $n=3$ является нечетным числом, поэтому равенство $\sqrt[3]{x^3} = x$ выполняется для всех действительных значений $\text{x}$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

3) Для любого четного показателя корня $\text{n}$ и любого действительного числа $\text{x}$ справедливо тождество $\sqrt[n]{x^n} = |x|$. В данном случае показатель корня $n=4$ является четным числом, поэтому $\sqrt[4]{x^4} = |x|$. Исходное равенство принимает вид $|x| = -x$. Согласно определению модуля числа, данное равенство выполняется тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неположительно, то есть $x \le 0$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0]$.