Номер 3.5, страница 104, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.5. Найдите значение выражения:

1) $ \sqrt[4]{16} $; 2) $ \sqrt[3]{\frac{1}{8}} $; 3) $ \sqrt[4]{5\frac{1}{16}} $; 4) $ \sqrt[3]{0,027} $;

5) $ \sqrt[5]{-32} $; 6) $ \sqrt[6]{\frac{1}{64}} $; 7) $ \sqrt[3]{-3\frac{3}{8}} $; 8) $ \sqrt[4]{0,0625} $;

9) $ \sqrt[12]{1} $; 10) $ \sqrt[7]{-1} $; 11) $ \sqrt[6]{11\frac{25}{64}} $; 12) $ \sqrt[5]{-0,00001} $.

1) Чтобы найти значение выражения $\sqrt[4]{16}$, нужно найти неотрицательное число, которое при возведении в 4-ю степень даст 16. Таким числом является 2, так как $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.

Ответ: 2

2) Используем свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$. Получаем: $\sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{8}}$. Поскольку $1^3=1$ и $2^3=8$, то $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

3) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $5\frac{1}{16} = \frac{5 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{81}{16}$. Затем извлекаем корень, используя свойство корня из дроби: $\sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}}$. Так как $3^4=81$ и $2^4=16$, получаем $\frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$

4) Чтобы найти $\sqrt[3]{0,027}$, можно представить десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,027 = \frac{27}{1000}$. Тогда $\sqrt[3]{0,027} = \sqrt[3]{\frac{27}{1000}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{1000}} = \frac{3}{10} = 0,3$. Также можно заметить, что $0,3^3 = 0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 = 0,027$.

Ответ: 0,3

5) Требуется найти значение $\sqrt[5]{-32}$. Так как показатель корня (5) - нечетное число, корень из отрицательного числа существует и является отрицательным. Нужно найти число, которое в 5-й степени равно -32. Это число -2, так как $(-2)^5 = -32$.

Ответ: -2

6) Применяем свойство корня из дроби: $\sqrt[6]{\frac{1}{64}} = \frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{64}}$. Корень 6-й степени из 1 равен 1. Чтобы найти $\sqrt[6]{64}$, ищем число, которое в 6-й степени дает 64. Это число 2, поскольку $2^6=64$. Таким образом, результат равен $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

7) Преобразуем подкоренное выражение в неправильную дробь: $-3\frac{3}{8} = -\frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = -\frac{27}{8}$. Так как показатель корня (3) нечетный, можно вынести знак минус из-под корня: $\sqrt[3]{-\frac{27}{8}} = -\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = -\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} = -\frac{3}{2}$.

Ответ: $-\frac{3}{2}$

8) Представим десятичную дробь $0,0625$ в виде обыкновенной: $0,0625 = \frac{625}{10000}$. Тогда $\sqrt[4]{0,0625} = \sqrt[4]{\frac{625}{10000}} = \frac{\sqrt[4]{625}}{\sqrt[4]{10000}}$. Поскольку $5^4 = 625$ и $10^4 = 10000$, получаем $\frac{5}{10} = 0,5$. Также можно заметить, что $0,5^4 = 0,0625$.

Ответ: 0,5

9) Корень любой натуральной степени из единицы равен единице. $\sqrt[12]{1} = 1$, так как $1^{12} = 1$.

Ответ: 1

10) Показатель корня (7) нечетный, поэтому корень из -1 существует. Нужно найти число, которое в 7-й степени равно -1. Этим числом является -1, так как $(-1)^7 = -1$.

Ответ: -1

11) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $11\frac{25}{64} = \frac{11 \cdot 64 + 25}{64} = \frac{704 + 25}{64} = \frac{729}{64}$. Теперь извлекаем корень: $\sqrt[6]{\frac{729}{64}} = \frac{\sqrt[6]{729}}{\sqrt[6]{64}}$. Нам известно, что $3^6 = 729$ и $2^6 = 64$. Следовательно, результат равен $\frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$

12) Ищем $\sqrt[5]{-0,00001}$. Показатель корня (5) нечетный. Представим десятичную дробь как степень известного числа: $-0,00001 = -(0,1)^5 = (-0,1)^5$. Тогда $\sqrt[5]{-0,00001} = \sqrt[5]{(-0,1)^5} = -0,1$.

Ответ: -0,1