Номер 3.1, страница 104, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.1. Решите уравнение:

1) $x^3 = 8$;

2) $3x^4 - 48 = 0$;

3) $x^5 = -32$;

4) $x^3 = 4$;

5) $x^4 = 10$;

6) $x^5 = 6$;

7) $x^3 = -4$;

8) $x^4 = -10$;

9) $x^6 = 7$.

1) Решим уравнение $x^3 = 8$.

Чтобы найти $\text{x}$, нужно извлечь кубический корень из обеих частей уравнения. Уравнение вида $x^n = a$, где $\text{n}$ — нечетное число, имеет один действительный корень $x = \sqrt[n]{a}$.

$x = \sqrt[3]{8}$

Так как $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$, то $x = 2$.

Ответ: $\text{2}$.

2) Решим уравнение $3x^4 - 48 = 0$.

Сначала изолируем член с переменной $\text{x}$. Для этого перенесем 48 в правую часть уравнения и разделим обе части на 3:

$3x^4 = 48$

$x^4 = \frac{48}{3}$

$x^4 = 16$

Теперь нужно извлечь корень четвертой степени. Уравнение вида $x^n = a$, где $\text{n}$ — четное число и $a > 0$, имеет два действительных корня: $x = \pm\sqrt[n]{a}$.

$x = \pm\sqrt[4]{16}$

Так как $2^4 = 16$, то $x = \pm2$.

Ответ: $\pm2$.

3) Решим уравнение $x^5 = -32$.

Извлечем корень пятой степени из обеих частей. Так как степень (5) нечетная, уравнение имеет один действительный корень.

$x = \sqrt[5]{-32}$

Так как $(-2)^5 = -32$, то $x = -2$.

Ответ: $-2$.

4) Решим уравнение $x^3 = 4$.

Извлечем кубический корень из обеих частей. Так как степень нечетная, корень будет один.

$x = \sqrt[3]{4}$

Число 4 не является точным кубом целого числа, поэтому ответ записывается в виде иррационального числа.

Ответ: $\sqrt[3]{4}$.

5) Решим уравнение $x^4 = 10$.

Извлечем корень четвертой степени. Так как степень четная, а правая часть положительна, уравнение имеет два действительных корня.

$x = \pm\sqrt[4]{10}$

Число 10 не является точной четвертой степенью целого числа, поэтому ответ остается в иррациональном виде.

Ответ: $\pm\sqrt[4]{10}$.

6) Решим уравнение $x^5 = 6$.

Извлечем корень пятой степени. Так как степень нечетная, корень будет один.

$x = \sqrt[5]{6}$

Ответ записывается в виде иррационального числа.

Ответ: $\sqrt[5]{6}$.

7) Решим уравнение $x^3 = -4$.

Извлечем кубический корень. Степень нечетная, поэтому существует один действительный корень.

$x = \sqrt[3]{-4}$

Корень нечетной степени из отрицательного числа можно представить как $x = -\sqrt[3]{4}$.

Ответ: $-\sqrt[3]{4}$.

8) Решим уравнение $x^4 = -10$.

Нужно найти такое действительное число $\text{x}$, которое при возведении в четвертую (четную) степень даст отрицательное число -10. Любое действительное число, возведенное в четную степень, является неотрицательным ($x^4 \ge 0$). Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

9) Решим уравнение $x^6 = 7$.

Извлечем корень шестой степени. Так как степень четная, а правая часть положительна, будет два действительных корня.

$x = \pm\sqrt[6]{7}$

Ответ записывается в виде иррационального числа.

Ответ: $\pm\sqrt[6]{7}$.