Номер 3.3, страница 104, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.3. Найдите область определения выражения:

1) $\sqrt[4]{x}$;

2) $\sqrt[3]{x}$;

3) $\sqrt[6]{-x}$;

4) $\sqrt[8]{x-2}$;

5) $\sqrt[5]{3-x}$;

6) $\sqrt[6]{\frac{1}{2x-5}}$;

7) $\sqrt[3]{\frac{17}{x-6}}$;

8) $\sqrt[14]{\frac{x+3}{x-3}}$;

9) $\sqrt[10]{\frac{x-5}{2-x}}$;

10) $\sqrt[7]{\frac{x-2}{2+x}}$;

11) $\sqrt{\frac{x-1}{x^2-4}}$;

12) $\sqrt[8]{\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}}$.

1) Выражение $\sqrt[4]{x}$ является корнем четной степени (4-й степени), поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

$x \ge 0$

Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

2) Для выражения $\sqrt[3]{x}$ корень имеет нечетную степень (3), поэтому подкоренное выражение может быть любым действительным числом. Область определения - все действительные числа.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

3) Для выражения $\sqrt[6]{-x}$ корень имеет четную степень (6), поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

$-x \ge 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \le 0$

Ответ: $x \in (-\infty; 0]$.

4) Для выражения $\sqrt[8]{x-2}$ корень имеет четную степень (8), поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

$x - 2 \ge 0$

$x \ge 2$

Ответ: $x \in [2; +\infty)$.

5) Для выражения $\sqrt[5]{3-x}$ корень имеет нечетную степень (5), поэтому подкоренное выражение может быть любым действительным числом. Область определения - все действительные числа.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

6) Выражение $\sqrt[6]{\frac{1}{2x-5}}$ содержит корень четной степени (6). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

$\frac{1}{2x-5} \ge 0$

Так как числитель дроби $\text{1}$ является положительным числом, то для выполнения неравенства знаменатель также должен быть положительным. Он не может быть равен нулю, так как находится в знаменателе.

$2x - 5 > 0$

$2x > 5$

$x > \frac{5}{2}$ или $x > 2.5$

Ответ: $x \in (2.5; +\infty)$.

7) Выражение $\sqrt[3]{\frac{17}{x-6}}$ содержит корень нечетной степени (3), который определен для любого значения подкоренного выражения. Единственное ограничение на область определения накладывает знаменатель дроби, который не должен быть равен нулю.

$x - 6 \ne 0$

$x \ne 6$

Ответ: $x \in (-\infty; 6) \cup (6; +\infty)$.

8) Выражение $\sqrt[14]{\frac{x+3}{x-3}}$ содержит корень четной степени (14). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

$\frac{x+3}{x-3} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов.

Нуль числителя: $x+3=0 \Rightarrow x=-3$.

Нуль знаменателя: $x-3=0 \Rightarrow x=3$. (Эта точка исключается из решения, так как знаменатель не может быть равен нулю).

Отметим точки -3 (включительно) и 3 (исключительно) на числовой оси и определим знаки выражения на полученных интервалах.

Для $x < -3$ (например, $x=-4$): $\frac{-4+3}{-4-3} = \frac{-1}{-7} > 0$. Интервал $(-\infty; -3]$ подходит.

Для $-3 < x < 3$ (например, $x=0$): $\frac{0+3}{0-3} = \frac{3}{-3} < 0$. Интервал не подходит.

Для $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{4+3}{4-3} = \frac{7}{1} > 0$. Интервал $(3; +\infty)$ подходит.

Объединяем полученные интервалы.

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup (3; +\infty)$.

9) Выражение $\sqrt[10]{\frac{x-5}{2-x}}$ содержит корень четной степени (10). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

$\frac{x-5}{2-x} \ge 0$

Решим неравенство методом интервалов.

Нуль числителя: $x-5=0 \Rightarrow x=5$.

Нуль знаменателя: $2-x=0 \Rightarrow x=2$. (Эта точка исключается).

Отметим точки 2 (исключительно) и 5 (включительно) на числовой оси.

Для $x < 2$ (например, $x=0$): $\frac{0-5}{2-0} < 0$.

Для $2 < x < 5$ (например, $x=3$): $\frac{3-5}{2-3} > 0$. Интервал $(2; 5]$ подходит.

Для $x > 5$ (например, $x=6$): $\frac{6-5}{2-6} < 0$.

Выбираем интервал, где выражение неотрицательно.

Ответ: $x \in (2; 5]$.

10) Выражение $\sqrt[7]{\frac{x-2}{2+x}}$ содержит корень нечетной степени (7). Единственное ограничение - знаменатель не должен быть равен нулю.

$2+x \ne 0$

$x \ne -2$

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

11) Выражение $\sqrt{\frac{x-1}{x^2-4}}$ содержит корень четной степени (2). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

$\frac{x-1}{x^2-4} \ge 0$

Разложим знаменатель на множители: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$.

$\frac{x-1}{(x-2)(x+2)} \ge 0$

Решим неравенство методом интервалов. Точки, в которых выражение может менять знак: $x=1$ (нуль числителя), $x=-2$ и $x=2$ (нули знаменателя).

Точки $x=-2$ и $x=2$ исключаются. Точка $x=1$ включается.

Нанесем точки -2, 1, 2 на числовую ось и определим знаки на интервалах: $(-\infty; -2)$, $(-2; 1]$, $[1; 2)$, $(2; +\infty)$.

- $x>2$ (например $x=3$): $\frac{+}{(+)(+)} > 0$. Подходит.

- $1<x<2$ (например $x="1.5$):" $\frac{+}{(-)(+)} < 0$. Не подходит. $0<x<2$>

- $-2<x<1$ (например $x=0$): $\frac{-}{(-)(+)}> 0$. Подходит.

- $x<-2$ (например $x=-3$): $\frac{-}{(-)(-)} < 0$. Не подходит.

Объединяем подходящие интервалы.

Ответ: $x \in (-2; 1] \cup (2; +\infty)$.

12) Выражение $\sqrt[8]{\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}}$ содержит корень четной степени (8). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

$\frac{x^2-3x+2}{x^2-1} \ge 0$

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)$.

Знаменатель: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$.

Получаем неравенство: $\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)} \ge 0$

Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x^2-1 \ne 0$, откуда $x \ne 1$ и $x \ne -1$.

При условии $x \ne 1$ можно сократить дробь на $(x-1)$:

$\frac{x-2}{x+1} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов, учитывая, что $x \ne 1$ и $x \ne -1$.

Нули и точки разрыва: $x=2$ (из числителя, включается), $x=-1$ (из знаменателя, исключается).

- $x < -1$: $\frac{-}{-} > 0$. Интервал $(-\infty; -1)$ подходит.

- $-1 < x < 2$: $\frac{-}{+} < 0$. Не подходит.

- $x > 2$: $\frac{+}{+} > 0$. Интервал $[2; +\infty)$ подходит.

Получили решение $x \in (-\infty; -1) \cup [2; +\infty)$. Это множество не содержит точку $x=1$, поэтому дополнительных действий не требуется.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup [2; +\infty)$.