Номер 3.10, страница 105, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.10. Определите знак разности:

1) $ \sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{7} $;

2) $ \sqrt[6]{\frac{1}{2}} - \sqrt[6]{\frac{1}{3}} $;

3) $ \sqrt[6]{0,28} - \sqrt[6]{\frac{2}{7}} $;

4) $ \sqrt[8]{11} - \sqrt[8]{10} $;

5) $ 1 - \sqrt[4]{0,99} $;

6) $ \sqrt{\frac{7}{11}} - \sqrt{\frac{9}{19}} $;

7) $ \sqrt[3]{2} - \sqrt[5]{2} $;

8) $ \sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt[4]{\frac{1}{3}} $;

9) $ \sqrt[4]{3} - \sqrt[2k]{3} $.

1) Чтобы определить знак разности $\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{7}$, необходимо сравнить числа $\sqrt[3]{9}$ и $\sqrt[3]{7}$. Функция $f(x) = \sqrt[3]{x}$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения. Поскольку $9 > 7$, то и соответствующие значения функции будут находиться в таком же соотношении, то есть $\sqrt[3]{9} > \sqrt[3]{7}$. Следовательно, разность $\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{7}$ является положительным числом.

Ответ: знак плюс (+).

2) Для определения знака разности $\sqrt[5]{\frac{1}{2}} - \sqrt[6]{\frac{1}{3}}$ сравним эти два числа. Для этого приведем их к общему показателю корня, который является наименьшим общим кратным чисел 5 и 6, то есть 30.

$\sqrt[5]{\frac{1}{2}} = \sqrt[5 \cdot 6]{(\frac{1}{2})^6} = \sqrt[30]{\frac{1}{64}}$

$\sqrt[6]{\frac{1}{3}} = \sqrt[6 \cdot 5]{(\frac{1}{3})^5} = \sqrt[30]{\frac{1}{243}}$

Теперь сравним подкоренные выражения $\frac{1}{64}$ и $\frac{1}{243}$. Так как $64 < 243$, то $\frac{1}{64} > \frac{1}{243}$. Поскольку функция корня является возрастающей, $\sqrt[30]{\frac{1}{64}} > \sqrt[30]{\frac{1}{243}}$. Таким образом, $\sqrt[5]{\frac{1}{2}} > \sqrt[6]{\frac{1}{3}}$, и разность положительна.

Ответ: знак плюс (+).

3) Для определения знака разности $\sqrt[6]{0,28} - \sqrt[6]{\frac{2}{7}}$ сравним числа $\sqrt[6]{0,28}$ и $\sqrt[6]{\frac{2}{7}}$. Так как показатели корней одинаковы, достаточно сравнить подкоренные выражения: $0,28$ и $\frac{2}{7}$.

Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $0,28 = \frac{28}{100} = \frac{7}{25}$.

Теперь сравним дроби $\frac{7}{25}$ и $\frac{2}{7}$. Для этого можно привести их к общему знаменателю или использовать перекрестное умножение: $7 \cdot 7 = 49$ и $25 \cdot 2 = 50$.

Поскольку $49 < 50$, то $\frac{7}{25} < \frac{2}{7}$, что означает $0,28 < \frac{2}{7}$.

Так как функция $f(x) = \sqrt[6]{x}$ возрастающая, то $\sqrt[6]{0,28} < \sqrt[6]{\frac{2}{7}}$. Следовательно, разность отрицательна.

Ответ: знак минус (-).

4) Для определения знака разности $\sqrt[8]{11} - \sqrt[8]{10}$ сравним числа $\sqrt[8]{11}$ и $\sqrt[8]{10}$. Показатели корней одинаковы. Функция $f(x) = \sqrt[8]{x}$ является возрастающей для неотрицательных $\text{x}$. Так как $11 > 10$, то $\sqrt[8]{11} > \sqrt[8]{10}$. Разность положительна.

Ответ: знак плюс (+).

5) Для определения знака разности $1 - \sqrt[4]{0,99}$ сравним $\text{1}$ и $\sqrt[4]{0,99}$.

Число $\text{1}$ можно представить в виде корня той же степени: $1 = \sqrt[4]{1}$.

Теперь сравниваем $\sqrt[4]{1}$ и $\sqrt[4]{0,99}$. Функция $f(x) = \sqrt[4]{x}$ возрастающая. Поскольку $1 > 0,99$, то $\sqrt[4]{1} > \sqrt[4]{0,99}$.

Следовательно, $1 > \sqrt[4]{0,99}$, и разность $1 - \sqrt[4]{0,99}$ положительна.

Ответ: знак плюс (+).

6) Для определения знака разности $\sqrt[7]{\frac{7}{11}} - \sqrt[7]{\frac{9}{19}}$ сравним подкоренные выражения $\frac{7}{11}$ и $\frac{9}{19}$, так как показатели корней одинаковы.

Сравним дроби с помощью перекрестного умножения: $7 \cdot 19$ и $11 \cdot 9$.

$7 \cdot 19 = 133$.

$11 \cdot 9 = 99$.

Так как $133 > 99$, то $\frac{7}{11} > \frac{9}{19}$.

Поскольку функция $f(x) = \sqrt[7]{x}$ возрастающая, то $\sqrt[7]{\frac{7}{11}} > \sqrt[7]{\frac{9}{19}}$. Разность положительна.

Ответ: знак плюс (+).

7) Для определения знака разности $\sqrt[3]{2} - \sqrt[5]{2}$ сравним числа $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[5]{2}$. Основания под корнями одинаковы, а показатели различны.

Рассмотрим функцию $f(n) = \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$. Если основание $a > 1$, то эта функция является убывающей по $\text{n}$.

В нашем случае $a=2 > 1$. Сравниваем показатели $n_1=3$ и $n_2=5$. Так как $3 < 5$, из-за убывающего характера функции следует, что $\sqrt[3]{2} > \sqrt[5]{2}$. Разность положительна.

Ответ: знак плюс (+).

8) Для определения знака разности $\sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ сравним числа $\sqrt{\frac{1}{3}}$ (что то же самое, что и $\sqrt[2]{\frac{1}{3}}$) и $\sqrt[4]{\frac{1}{3}}$. Основания под корнями одинаковы.

Рассмотрим функцию $f(n) = \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$. Если основание $0 < a < 1$, то эта функция является возрастающей по $\text{n}$.

В нашем случае $a=\frac{1}{3}$, что удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Сравниваем показатели $n_1=2$ и $n_2=4$. Так как $2 < 4$, из-за возрастающего характера функции следует, что $\sqrt[2]{\frac{1}{3}} < \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$. Разность отрицательна.

Ответ: знак минус (-).

9) Для определения знака разности $\sqrt[k]{3} - \sqrt[2k]{3}$ сравним числа $\sqrt[k]{3}$ и $\sqrt[2k]{3}$. Будем считать, что $\text{k}$ — натуральное число ($k \ge 1$).

Основание под корнем равно $\text{3}$, что больше $\text{1}$. Как и в задаче 7, функция $f(n) = \sqrt[n]{a}$ при $a>1$ является убывающей по $\text{n}$.

Сравниваем показатели $\text{k}$ и $2k$. Так как $\text{k}$ — положительное число, $k < 2k$.

Поскольку функция убывающая, то $\sqrt[k]{3} > \sqrt[2k]{3}$. Разность положительна.

Ответ: знак плюс (+).