Номер 3.11, страница 105, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.11. Расположите числа в порядке возрастания:

1) $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{3}$, $\sqrt[6]{6}$ ;

2) $\frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sqrt[3]{0,35}$, $\sqrt[6]{0,15}$ ;

3) $\frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sqrt[3]{0,3}$, $\sqrt[5]{0,2}$ ;

4) $5\sqrt{0,1}$, $3\sqrt[3]{\frac{1}{6}}$, $2\sqrt[6]{\frac{1}{3}}$ .

1)Чтобы сравнить числа с разными показателями корня, такие как $ \sqrt{2} $, $ \sqrt[3]{3} $ и $ \sqrt[6]{6} $, их необходимо привести к общему показателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для показателей 2, 3 и 6 равно 6.

Приведем каждое число к корню 6-й степени:

$ \sqrt{2} = 2^{1/2} = 2^{3/6} = \sqrt[6]{2^3} = \sqrt[6]{8} $

$ \sqrt[3]{3} = 3^{1/3} = 3^{2/6} = \sqrt[6]{3^2} = \sqrt[6]{9} $

Третье число уже представлено как корень 6-й степени: $ \sqrt[6]{6} $.

Теперь сравним подкоренные выражения: 6, 8 и 9.

Поскольку $ 6 < 8 < 9 $, то и значения корней будут располагаться в том же порядке: $ \sqrt[6]{6} < \sqrt[6]{8} < \sqrt[6]{9} $.

Подставляя исходные числа, получаем итоговый порядок возрастания: $ \sqrt[6]{6}, \sqrt{2}, \sqrt[3]{3} $.

Ответ:$ \sqrt[6]{6}, \sqrt{2}, \sqrt[3]{3} $.

2)Сравним числа $ \sqrt{\frac{1}{2}} $, $ \sqrt[3]{0,35} $ и $ \sqrt[6]{0,15} $. Для этого приведем их к общему показателю корня, равному НОК(2, 3, 6) = 6.

$ \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{0,5} = (0,5)^{1/2} = (0,5)^{3/6} = \sqrt[6]{(0,5)^3} = \sqrt[6]{0,125} $

$ \sqrt[3]{0,35} = (0,35)^{1/3} = (0,35)^{2/6} = \sqrt[6]{(0,35)^2} = \sqrt[6]{0,1225} $

Третье число: $ \sqrt[6]{0,15} $.

Теперь сравним подкоренные выражения: 0,125, 0,1225 и 0,15.

Расположим их в порядке возрастания: $ 0,1225 < 0,125 < 0,15 $.

Следовательно, $ \sqrt[6]{0,1225} < \sqrt[6]{0,125} < \sqrt[6]{0,15} $.

Возвращаясь к исходным числам, получаем: $ \sqrt[3]{0,35}, \sqrt{\frac{1}{2}}, \sqrt[6]{0,15} $.

Ответ:$ \sqrt[3]{0,35}, \sqrt{\frac{1}{2}}, \sqrt[6]{0,15} $.

3)Сравним числа $ \sqrt{\frac{1}{2}} $, $ \sqrt[3]{0,3} $ и $ \sqrt[5]{0,2} $. Общий показатель корня равен НОК(2, 3, 5) = 30. Удобнее будет возвести все числа в 30-ю степень и сравнить результаты.

$ (\sqrt{\frac{1}{2}})^{30} = (\sqrt{0,5})^{30} = (0,5)^{15} = (\frac{1}{2})^{15} = \frac{1}{32768} $

$ (\sqrt[3]{0,3})^{30} = (0,3)^{10} = (\frac{3}{10})^{10} = \frac{59049}{10000000000} $

$ (\sqrt[5]{0,2})^{30} = (0,2)^6 = (\frac{1}{5})^6 = \frac{1}{15625} $

Теперь сравним полученные дроби. Сравним $ \frac{59049}{10^{10}} $ и $ \frac{1}{32768} $. При перекрестном умножении получаем $ 59049 \times 32768 = 1934981152 $ и $ 1 \times 10^{10} = 10000000000 $. Так как $ 1934981152 < 10000000000 $, то $ \frac{59049}{10^{10}} < \frac{1}{32768} $.

Сравним $ \frac{1}{32768} $ и $ \frac{1}{15625} $. Так как знаменатель $ 32768 > 15625 $, то дробь $ \frac{1}{32768} < \frac{1}{15625} $.

Таким образом, $ \frac{59049}{10^{10}} < \frac{1}{32768} < \frac{1}{15625} $, а значит и $ (\sqrt[3]{0,3})^{30} < (\sqrt{\frac{1}{2}})^{30} < (\sqrt[5]{0,2})^{30} $.

Так как функция возведения в степень является возрастающей для положительных чисел, исходные числа располагаются в том же порядке.

Ответ:$ \sqrt[3]{0,3}, \sqrt{\frac{1}{2}}, \sqrt[5]{0,2} $.

4)Чтобы сравнить числа $ 5\sqrt[3]{0,1} $, $ 3\sqrt[8]{\frac{1}{6}} $ и $ 2\sqrt[6]{\frac{1}{3}} $, внесем множители под знак корня.

$ 5\sqrt[3]{0,1} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 0,1} = \sqrt[3]{125 \cdot 0,1} = \sqrt[3]{12,5} $

$ 3\sqrt[8]{\frac{1}{6}} = \sqrt[8]{3^8 \cdot \frac{1}{6}} = \sqrt[8]{\frac{6561}{6}} = \sqrt[8]{1093,5} $

$ 2\sqrt[6]{\frac{1}{3}} = \sqrt[6]{2^6 \cdot \frac{1}{3}} = \sqrt[6]{\frac{64}{3}} $

Теперь сравним полученные корни, возведя их в степень, равную НОК(3, 8, 6) = 24.

$ (\sqrt[3]{12,5})^{24} = (12,5)^8 = (\frac{25}{2})^8 = \frac{25^8}{2^8} = \frac{152587890625}{256} \approx 5,96 \cdot 10^8 $

$ (\sqrt[8]{1093,5})^{24} = (1093,5)^3 = (\frac{2187}{2})^3 = \frac{2187^3}{8} = \frac{10460353203}{8} \approx 1,3 \cdot 10^9 $

$ (\sqrt[6]{\frac{64}{3}})^{24} = (\frac{64}{3})^4 = \frac{64^4}{3^4} = \frac{16777216}{81} \approx 2,07 \cdot 10^5 $

Сравнивая полученные значения: $ 2,07 \cdot 10^5 < 5,96 \cdot 10^8 < 1,3 \cdot 10^9 $.

Следовательно, $ (\sqrt[6]{\frac{64}{3}})^{24} < (\sqrt[3]{12,5})^{24} < (\sqrt[8]{1093,5})^{24} $.

Это соответствует порядку исходных чисел.

Ответ:$ 2\sqrt[6]{\frac{1}{3}}, 5\sqrt[3]{0,1}, 3\sqrt[8]{\frac{1}{6}} $.