Номер 3.8, страница 105, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.8. Предполагая $a > 0$, вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{4 \cdot a}$;

2) $\sqrt{50 \cdot a^3}$;

3) $\sqrt[3]{16 \cdot a}$;

4) $\sqrt[4]{81 \cdot a^6}$;

5) $\sqrt[4]{81a^2}$;

6) $\sqrt[3]{27a^8}$;

7) $\sqrt[3]{5a^4}$;

8) $\sqrt[6]{10a^8}$.

1) Для вынесения множителя из-под знака корня представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, из которых можно извлечь квадратный корень. $\sqrt{4 \cdot a} = \sqrt{2^2 \cdot a} = \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{a} = 2\sqrt{a}$. Ответ: $2\sqrt{a}$

2) Разложим число 50 и степень $a^3$ на множители так, чтобы из них можно было извлечь квадратный корень. $50 = 25 \cdot 2 = 5^2 \cdot 2$ и $a^3 = a^2 \cdot a$. $\sqrt{50 \cdot a^3} = \sqrt{25 \cdot 2 \cdot a^2 \cdot a} = \sqrt{25 \cdot a^2} \cdot \sqrt{2 \cdot a} = \sqrt{(5a)^2} \cdot \sqrt{2a}$. Поскольку по условию $a > 0$, то $\sqrt{(5a)^2} = 5a$. Таким образом, получаем $5a\sqrt{2a}$. Ответ: $5a\sqrt{2a}$

3) Ищем множители, являющиеся кубами. Число 16 можно представить как $16 = 8 \cdot 2 = 2^3 \cdot 2$. $\sqrt[3]{16 \cdot a} = \sqrt[3]{8 \cdot 2 \cdot a} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 2a} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{2a} = 2\sqrt[3]{2a}$. Ответ: $2\sqrt[3]{2a}$

4) Ищем множители, являющиеся четвертой степенью. $81 = 3^4$ и $a^6 = a^4 \cdot a^2$. $\sqrt[4]{81 \cdot a^6} = \sqrt[4]{3^4 \cdot a^4 \cdot a^2} = \sqrt[4]{(3a)^4 \cdot a^2} = \sqrt[4]{(3a)^4} \cdot \sqrt[4]{a^2}$. Так как $a > 0$, $\sqrt[4]{(3a)^4} = 3a$. Выражение $\sqrt[4]{a^2}$ можно упростить, используя свойства степеней: $\sqrt[4]{a^2} = a^{\frac{2}{4}} = a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$. В итоге получаем $3a\sqrt{a}$. Ответ: $3a\sqrt{a}$

5) Ищем множители, являющиеся четвертой степенью. $81 = 3^4$. $\sqrt[4]{81a^2} = \sqrt[4]{3^4 \cdot a^2} = \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{a^2} = 3\sqrt[4]{a^2}$. Упростим корень: $\sqrt[4]{a^2} = a^{\frac{2}{4}} = a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$. Результат: $3\sqrt{a}$. Ответ: $3\sqrt{a}$

6) Ищем множители, являющиеся кубами. $27 = 3^3$ и $a^8 = a^6 \cdot a^2 = (a^2)^3 \cdot a^2$. $\sqrt[3]{27a^8} = \sqrt[3]{3^3 \cdot a^6 \cdot a^2} = \sqrt[3]{3^3 \cdot (a^2)^3 \cdot a^2} = \sqrt[3]{(3a^2)^3 \cdot a^2} = \sqrt[3]{(3a^2)^3} \cdot \sqrt[3]{a^2}$. Так как $a > 0$, $\sqrt[3]{(3a^2)^3} = 3a^2$. Получаем $3a^2\sqrt[3]{a^2}$. Ответ: $3a^2\sqrt[3]{a^2}$

7) В выражении $\sqrt[5]{5a^4}$ подкоренное выражение $5a^4$ не содержит множителей, которые являются пятой степенью какого-либо числа или выражения. Показатель степени у переменной $\text{a}$ (4) меньше показателя корня (5), и число 5 не является пятой степенью целого числа. Поэтому вынести множитель из-под знака корня невозможно. Ответ: $\sqrt[5]{5a^4}$

8) Ищем множители, являющиеся шестой степенью. Число 10 не содержит таких множителей. Для переменной $\text{a}$ представим $a^8$ как $a^6 \cdot a^2$. $\sqrt[6]{10a^8} = \sqrt[6]{10 \cdot a^6 \cdot a^2} = \sqrt[6]{a^6 \cdot 10a^2} = \sqrt[6]{a^6} \cdot \sqrt[6]{10a^2}$. Поскольку $a > 0$, $\sqrt[6]{a^6} = a$. Результат: $a\sqrt[6]{10a^2}$. Ответ: $a\sqrt[6]{10a^2}$