Номер 3.7, страница 105, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.7. Найдите значение выражения:

1) $ \sqrt[3]{8 \cdot 27} $;

2) $ \sqrt[4]{625 \cdot 16} $;

3) $ \sqrt[5]{243 \cdot \frac{1}{32}} $;

4) $ \sqrt[3]{125 \cdot 27} $;

5) $ \sqrt[3]{0,001 \cdot 125} $;

6) $ \sqrt[4]{\frac{1}{81} \cdot 10000} $;

7) $ \sqrt[4]{16 \cdot 81} $;

8) $ \sqrt[4]{0,0016 \cdot 81} $;

1) Для нахождения значения выражения воспользуемся свойством корня из произведения, согласно которому корень $\text{n}$-й степени из произведения равен произведению корней $\text{n}$-й степени из каждого множителя: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.

Применяя это свойство, получаем:

$\sqrt[3]{8 \cdot 27} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27}$

Так как $2^3 = 8$ и $3^3 = 27$, то $\sqrt[3]{8} = 2$ и $\sqrt[3]{27} = 3$.

Следовательно, $\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27} = 2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: 6

2) Используем свойство корня из произведения: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.

$\sqrt[4]{625 \cdot 16} = \sqrt[4]{625} \cdot \sqrt[4]{16}$

Находим корни: $\sqrt[4]{625} = 5$, так как $5^4 = 625$, и $\sqrt[4]{16} = 2$, так как $2^4 = 16$.

$\sqrt[4]{625} \cdot \sqrt[4]{16} = 5 \cdot 2 = 10$.

Ответ: 10

3) Используем свойство корня из произведения и свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.

$\sqrt[5]{243 \cdot \frac{1}{32}} = \sqrt[5]{243} \cdot \sqrt[5]{\frac{1}{32}}$

Находим корни: $\sqrt[5]{243} = 3$, так как $3^5 = 243$, и $\sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{32}} = \frac{1}{2}$.

$3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$.

Ответ: 1,5

4) Используем свойство корня из произведения: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.

$\sqrt[3]{125 \cdot 27} = \sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{27}$

Находим корни: $\sqrt[3]{125} = 5$, так как $5^3 = 125$, и $\sqrt[3]{27} = 3$, так как $3^3 = 27$.

$5 \cdot 3 = 15$.

Ответ: 15

5) Используем свойство корня из произведения: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.

$\sqrt[3]{0,001 \cdot 125} = \sqrt[3]{0,001} \cdot \sqrt[3]{125}$

Находим корни: $\sqrt[3]{0,001} = 0,1$, так как $(0,1)^3 = 0,001$, и $\sqrt[3]{125} = 5$.

$0,1 \cdot 5 = 0,5$.

Ответ: 0,5

6) Используем свойство корня из произведения и свойство корня из дроби.

$\sqrt[4]{\frac{1}{81} \cdot 10000} = \sqrt[4]{\frac{1}{81}} \cdot \sqrt[4]{10000}$

Находим корни: $\sqrt[4]{\frac{1}{81}} = \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{81}} = \frac{1}{3}$, и $\sqrt[4]{10000} = 10$, так как $10^4 = 10000$.

$\frac{1}{3} \cdot 10 = \frac{10}{3}$.

Ответ: $\frac{10}{3}$

7) Используем свойство корня из произведения: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.

$\sqrt[4]{16 \cdot 81} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{81}$

Находим корни: $\sqrt[4]{16} = 2$ и $\sqrt[4]{81} = 3$.

$2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: 6

8) Используем свойство корня из произведения: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.

$\sqrt[4]{0,0016 \cdot 81} = \sqrt[4]{0,0016} \cdot \sqrt[4]{81}$

Находим корни: $\sqrt[4]{0,0016} = 0,2$, так как $(0,2)^4 = 0,0016$, и $\sqrt[4]{81} = 3$.

$0,2 \cdot 3 = 0,6$.

Ответ: 0,6