Вопросы, страница 104, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Дайте определение корня $\text{n}$-й степени из числа $\text{a}$.

2. Какие свойства корня $\text{n}$-й степени вы знаете? Докажите их.

1. Корнем n-й степени из числа $\text{a}$ (где $\text{n}$ — натуральное число, $n \ge 2$) называется такое число $\text{b}$, $\text{n}$-я степень которого равна $\text{a}$.

Математически это записывается так: $\sqrt[n]{a} = b \iff b^n = a$.

Важно различать два случая в зависимости от четности показателя корня $\text{n}$:

• Если $\text{n}$ — четное число ($n = 2k$, где $k \in \mathbb{N}$):

  • Из положительного числа $a > 0$ существуют два действительных корня $\text{n}$-й степени, которые являются противоположными числами: $\sqrt[n]{a}$ (неотрицательный, называемый арифметическим корнем) и $-\sqrt[n]{a}$.

  • Из числа $a = 0$ существует единственный корень, равный нулю: $\sqrt[n]{0} = 0$.

  • Из отрицательного числа $a < 0$ действительных корней $\text{n}$-й степени не существует.

• Если $\text{n}$ — нечетное число ($n = 2k+1$, где $k \in \mathbb{N}$):

  • Для любого действительного числа $\text{a}$ (положительного, отрицательного или равного нулю) существует единственный действительный корень $\text{n}$-й степени, который обозначается как $\sqrt[n]{a}$.

В школьном курсе и в большинстве практических задач, когда говорят о корне четной степени, по умолчанию имеют в виду арифметический корень n-й степени — это неотрицательное число, $\text{n}$-я степень которого равна $\text{a}$ (при $a \ge 0$).

Ответ: Корнем n-й степени из числа $\text{a}$ ($n \in \mathbb{N}, n \ge 2$) называется число $\text{b}$, такое, что $b^n=a$. При четном $\text{n}$ корень извлекается только из неотрицательного числа $a \ge 0$ и его значением (арифметический корень) является неотрицательное число $b \ge 0$. При нечетном $\text{n}$ корень существует для любого действительного числа $\text{a}$ и является единственным.

2. Основные свойства корня n-й степени (для $a \ge 0$, $b \ge 0$ и натуральных $n, m \ge 2$):

1. Корень из произведения равен произведению корней: $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$

   Доказательство:

   Пусть $x = \sqrt[n]{a}$ и $y = \sqrt[n]{b}$. По определению арифметического корня, это означает, что $x \ge 0$, $y \ge 0$ и $x^n = a$, $y^n = b$.

   Рассмотрим произведение $xy$. Так как $x \ge 0$ и $y \ge 0$, то $xy \ge 0$.

   Возведем это произведение в $\text{n}$-ю степень, используя свойство степени произведения: $(xy)^n = x^n y^n$.

   Подставим $\text{a}$ и $\text{b}$: $(xy)^n = ab$.

   Мы получили, что неотрицательное число $xy$, возведенное в степень $\text{n}$, равно $ab$. По определению арифметического корня, это означает, что $xy$ является корнем $\text{n}$-й степени из $ab$.

   $xy = \sqrt[n]{ab}$

   Подставляя обратно значения $\text{x}$ и $\text{y}$, получаем: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$. Что и требовалось доказать.

2. Корень из частного равен частному корней: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ (при $b > 0$)

   Доказательство:

   Пусть $x = \sqrt[n]{a}$ и $y = \sqrt[n]{b}$. По определению, $x \ge 0$, $y > 0$ (так как $b > 0$) и $x^n = a$, $y^n = b$.

   Рассмотрим частное $\frac{x}{y}$. Так как $x \ge 0$ и $y > 0$, то $\frac{x}{y} \ge 0$.

   Возведем это частное в $\text{n}$-ю степень: $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$.

   Подставим $\text{a}$ и $\text{b}$: $(\frac{x}{y})^n = \frac{a}{b}$.

   Мы получили, что неотрицательное число $\frac{x}{y}$ в $\text{n}$-й степени равно $\frac{a}{b}$. По определению, это означает, что $\frac{x}{y} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.

   Подставляя обратно $\text{x}$ и $\text{y}$, получаем: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$. Что и требовалось доказать.

3. Возведение корня в степень: $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$ (для натурального $\text{m}$)

   Доказательство:

   Пусть $x = \sqrt[n]{a}$. Это значит, что $x^n = a$.

   Рассмотрим левую часть равенства: $(\sqrt[n]{a})^m = x^m$.

   Рассмотрим правую часть: $\sqrt[n]{a^m}$. Чтобы доказать равенство, нужно показать, что $(x^m)^n = a^m$.

   Используя свойства степени, имеем: $(x^m)^n = x^{mn} = (x^n)^m$.

   Так как $x^n = a$, то $(x^n)^m = a^m$.

   Мы показали, что $\text{n}$-я степень числа $x^m$ равна $a^m$. Поскольку $a \ge 0$, то $x = \sqrt[n]{a} \ge 0$, и $x^m \ge 0$. Следовательно, по определению арифметического корня, $x^m$ является корнем $\text{n}$-й степени из $a^m$.

   $x^m = \sqrt[n]{a^m}$.

   Так как $x = \sqrt[n]{a}$, то $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$. Что и требовалось доказать.

4. Извлечение корня из корня: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$

   Доказательство:

   Пусть $x = \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}$. Так как $a \ge 0$, то $\sqrt[n]{a} \ge 0$, и $x \ge 0$.

   По определению корня, возведем обе части в степень $\text{m}$: $x^m = (\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}})^m = \sqrt[n]{a}$.

   Теперь возведем обе части полученного равенства $x^m = \sqrt[n]{a}$ в степень $\text{n}$:

   $(x^m)^n = (\sqrt[n]{a})^n$.

   По свойству степени и определению корня, получаем: $x^{mn} = a$.

   Так как $x \ge 0$ и $x^{mn}=a$, то по определению арифметического корня $\text{x}$ является корнем степени $mn$ из числа $\text{a}$: $x = \sqrt[mn]{a}$.

   Следовательно, $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$. Что и требовалось доказать.

5. Основное свойство корня: $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$ (для натуральных $k, m$)

   Доказательство:

   Это свойство позволяет сокращать и расширять показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на общий множитель.

   Воспользуемся доказанным свойством 4 (корень из корня) и свойством 3 (возведение корня в степень):

   $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{\sqrt[k]{(a^m)^k}}$

   По определению корня, для любого $y \ge 0$, $(\sqrt[k]{y})^k = y$. Если взять $y = a^m$, то получим $(\sqrt[k]{(a^m)})^k = a^m$. Но также $\sqrt[k]{y^k}=y$. Применяя это, получаем:

   $\sqrt[k]{(a^m)^k} = a^m$.

   Подставим это в наше выражение:

   $\sqrt[n]{\sqrt[k]{(a^m)^k}} = \sqrt[n]{a^m}$.

   Таким образом, $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Основные свойства корня n-й степени для $a \ge 0, b > 0$ и натуральных $n, m, k \ge 2$: 1. $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ 2. $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ 3. $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$ 4. $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$ 5. $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$ Доказательства свойств основаны на определении арифметического корня n-й степени и свойствах степени с натуральным показателем.