Номер 2.37, страница 97, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.37. Вычислите:

1) $\int (2x-3)^3 dx;$

2) $\int (2x^a-3)^3 dx.$

1) Чтобы вычислить интеграл $ \int (2x - 3)^3 dx $, воспользуемся методом замены переменной. Этот метод позволяет упростить подынтегральное выражение.

Пусть $ t = 2x - 3 $.

Тогда найдем дифференциал $ dt $: $ dt = d(2x - 3) = (2x - 3)' dx = 2 dx $.

Отсюда выразим $ dx $: $ dx = \frac{dt}{2} $.

Теперь подставим $ t $ и $ dx $ в исходный интеграл:

$ \int (2x - 3)^3 dx = \int t^3 \frac{dt}{2} $.

Вынесем константу $ \frac{1}{2} $ за знак интеграла:

$ \frac{1}{2} \int t^3 dt $.

Теперь применим табличный интеграл для степенной функции $ \int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C $. В нашем случае $ n = 3 $:

$ \frac{1}{2} \cdot \frac{t^{3+1}}{3+1} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^4}{4} + C = \frac{t^4}{8} + C $.

Последний шаг — выполнить обратную замену, подставив вместо $ t $ выражение $ 2x - 3 $:

$ \frac{(2x - 3)^4}{8} + C $.

Ответ: $ \frac{(2x - 3)^4}{8} + C $.

2) Для вычисления интеграла $ \int (2x^3 - 3)^3 dx $ удобнее всего сначала раскрыть скобки, используя формулу куба разности $ (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 $, а затем проинтегрировать полученный многочлен.

В нашем случае $ a = 2x^3 $ и $ b = 3 $.

Раскроем куб разности:

$ (2x^3 - 3)^3 = (2x^3)^3 - 3 \cdot (2x^3)^2 \cdot 3 + 3 \cdot (2x^3) \cdot 3^2 - 3^3 $

$ = 8x^9 - 3 \cdot 4x^6 \cdot 3 + 3 \cdot 2x^3 \cdot 9 - 27 $

$ = 8x^9 - 36x^6 + 54x^3 - 27 $.

Теперь интегрируем полученное выражение:

$ \int (8x^9 - 36x^6 + 54x^3 - 27) dx $.

Интеграл от суммы/разности равен сумме/разности интегралов:

$ \int 8x^9 dx - \int 36x^6 dx + \int 54x^3 dx - \int 27 dx $.

Выносим константы за знак интеграла и применяем формулу для степенной функции $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $:

$ 8 \cdot \frac{x^{10}}{10} - 36 \cdot \frac{x^7}{7} + 54 \cdot \frac{x^4}{4} - 27x + C $.

Упростим коэффициенты:

$ \frac{4}{5}x^{10} - \frac{36}{7}x^7 + \frac{27}{2}x^4 - 27x + C $.

Ответ: $ \frac{4}{5}x^{10} - \frac{36}{7}x^7 + \frac{27}{2}x^4 - 27x + C $.