Номер 2.34, страница 97, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.34. Садовник извлек случайную выборку 6-месячных саженцев и измерил их длину с точностью до миллиметра. Результаты измерений приведены в следующей интервальной таблице частот:

Вычислите выборочное среднее, дисперсию и стандартное отклонение.

Для вычисления статистических показателей для интервального ряда частот, сначала необходимо найти середины ($x_i$) для каждого интервала. Середина интервала находится как среднее арифметическое его границ.

• Интервал 300 – 324: $x_1 = \frac{300 + 324}{2} = 312$
• Интервал 325 – 349: $x_2 = \frac{325 + 349}{2} = 337$
• Интервал 350 – 374: $x_3 = \frac{350 + 374}{2} = 362$
• Интервал 375 – 399: $x_4 = \frac{375 + 399}{2} = 387$
• Интервал 400 – 424: $x_5 = \frac{400 + 424}{2} = 412$
• Интервал 425 – 449: $x_6 = \frac{425 + 449}{2} = 437$

Далее найдем общий объем выборки ($\text{n}$), сложив все частоты ($n_i$):

$n = 12 + 18 + 42 + 28 + 14 + 6 = 120$

Теперь можно приступать к вычислению требуемых характеристик.

Выборочное среднее

Выборочное среднее ($\bar{x}$) для сгруппированных данных вычисляется по формуле взвешенного среднего:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{n}$

где $x_i$ — середина i-го интервала, $n_i$ — частота i-го интервала, $\text{k}$ — количество интервалов, $\text{n}$ — объем выборки.

Вычислим сумму произведений середин интервалов на соответствующие им частоты:

$\sum x_i n_i = (312 \cdot 12) + (337 \cdot 18) + (362 \cdot 42) + (387 \cdot 28) + (412 \cdot 14) + (437 \cdot 6)$

$\sum x_i n_i = 3744 + 6066 + 15204 + 10836 + 5768 + 2622 = 44240$

Теперь найдем выборочное среднее:

$\bar{x} = \frac{44240}{120} = \frac{1106}{3} \approx 368.67$

Ответ: выборочное среднее равно примерно 368.67 мм.

Дисперсия

Выборочная (несмещенная) дисперсия ($s^2$) для сгруппированных данных вычисляется по формуле:

$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{k} (x_i - \bar{x})^2 n_i$

Для удобства вычислений лучше использовать другую формулу:

$s^2 = \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^{k} x_i^2 n_i - \frac{\left(\sum_{i=1}^{k} x_i n_i\right)^2}{n} \right)$

Сначала найдем сумму $\sum x_i^2 n_i$:

$\sum x_i^2 n_i = (312^2 \cdot 12) + (337^2 \cdot 18) + (362^2 \cdot 42) + (387^2 \cdot 28) + (412^2 \cdot 14) + (437^2 \cdot 6)$

$\sum x_i^2 n_i = 1168128 + 2044242 + 5503848 + 4193532 + 2376416 + 1145814 = 16431980$

Теперь подставим все известные значения в формулу для дисперсии. Знаем, что $n=120$ (значит $n-1=119$) и $\sum x_i n_i = 44240$.

$s^2 = \frac{1}{119} \left( 16431980 - \frac{44240^2}{120} \right)$

$s^2 = \frac{1}{119} \left( 16431980 - \frac{1957177600}{120} \right)$

$s^2 = \frac{1}{119} \left( 16431980 - 16309813.33\bar{3} \right)$

$s^2 = \frac{122166.66\bar{6}}{119} \approx 1026.61$

Ответ: дисперсия равна примерно 1026.61 мм$^2$.

Стандартное отклонение

Стандартное (или среднеквадратическое) отклонение ($\text{s}$) — это квадратный корень из выборочной дисперсии.

$s = \sqrt{s^2}$

Используя найденное значение дисперсии:

$s = \sqrt{1026.61} \approx 32.04$

Ответ: стандартное отклонение равно примерно 32.04 мм.