Вопросы, страница 95, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Как вычисляется выборочное среднее для дискретной случайной величины?

2. Как вычисляется выборочное среднее для непрерывной случайной величины?

3. Напишите формулы для вычисления дисперсии и стандартного отклонения.

4. В чем заключается статистический смысл дисперсии и стандартного отклонения?

1. Как вычисляется выборочное среднее для дискретной случайной величины?

Выборочное среднее для дискретной случайной величины, представленной набором данных (выборкой), вычисляется как среднее арифметическое всех значений в этой выборке. Если в выборке есть повторяющиеся значения, то для удобства вычислений используют статистический ряд распределения, где каждому уникальному значению $x_i$ сопоставляется его частота $n_i$ (сколько раз это значение встретилось).

Пусть имеется выборка, представленная в виде статистического ряда:

• $x_1, x_2, \dots, x_k$ – различные значения (варианты) в выборке.
• $n_1, n_2, \dots, n_k$ – соответствующие им частоты.

Общий объем выборки $\text{n}$ равен сумме всех частот: $n = n_1 + n_2 + \dots + n_k = \sum_{i=1}^{k} n_i$.

Тогда выборочное среднее $\bar{x}$ (также называемое выборочным средним арифметическим взвешенным) вычисляется по формуле:

$\bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_k x_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k} = \frac{\sum_{i=1}^{k} n_i x_i}{n}$

Эта формула означает, что мы умножаем каждое уникальное значение на его частоту, суммируем полученные произведения и делим на общее количество наблюдений в выборке. Если все значения в выборке встречаются только один раз ($n_i=1$ для всех $\text{i}$, и $k=n$), формула упрощается до обычного среднего арифметического: $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$.

Ответ: Выборочное среднее для дискретной случайной величины вычисляется как среднее арифметическое взвешенное её значений, где в качестве весов выступают частоты этих значений. Формула: $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} n_i x_i}{n}$, где $x_i$ – значения, $n_i$ – их частоты, а $\text{n}$ – общий объем выборки.

2. Как вычисляется выборочное среднее для непрерывной случайной величины?

Для непрерывной случайной величины данные обычно представлены в виде интервального ряда, так как точные значения могут быть уникальными и их слишком много. Чтобы вычислить выборочное среднее в этом случае, весь диапазон значений разбивают на несколько интервалов (классов) и подсчитывают, сколько наблюдений (частота) попадает в каждый интервал.

Процесс вычисления выглядит следующим образом:

1. Определяются границы интервалов $[a_1, a_2), [a_2, a_3), \dots, [a_k, a_{k+1})$.
2. Для каждого интервала находится его середина, которая будет представителем всех значений, попавших в этот интервал. Середина $\text{i}$-го интервала вычисляется как $x_i = \frac{a_i + a_{i+1}}{2}$.
3. Подсчитывается частота $n_i$ – количество наблюдений, попавших в $\text{i}$-й интервал.
4. Общий объем выборки $\text{n}$ равен сумме всех частот: $n = \sum_{i=1}^{k} n_i$.

После этого выборочное среднее $\bar{x}$ вычисляется так же, как и для дискретной величины, но вместо точных значений используются середины интервалов:

$\bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_k x_k}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{k} n_i x_i}{n}$

Таким образом, мы делаем допущение, что все значения внутри каждого интервала в среднем равны его середине. Это вносит некоторую погрешность, но является стандартным и эффективным методом для работы с сгруппированными данными.

Ответ: Для непрерывной случайной величины данные группируются в интервальный ряд. Выборочное среднее вычисляется как среднее взвешенное, где в качестве значений ($x_i$) берутся середины интервалов, а в качестве весов ($n_i$) – частоты попадания в эти интервалы. Формула: $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} n_i x_i}{n}$.

3. Напишите формулы для вычисления дисперсии и стандартного отклонения.

Дисперсия и стандартное отклонение являются мерами разброса данных относительно их среднего значения.

Выборочная дисперсия ($D_B$) – это средний квадрат отклонений значений выборки от их выборочного среднего. Формула для несгруппированных данных:

$D_B = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$

где $x_i$ – $\text{i}$-е значение в выборке, $\bar{x}$ – выборочное среднее, $\text{n}$ – объем выборки.

Для сгруппированных данных (когда есть значения $x_i$ с частотами $n_i$):

$D_B = \frac{\sum_{i=1}^{k} n_i (x_i - \bar{x})^2}{n}$

где $\text{k}$ – количество групп (или уникальных значений).

Выборочное стандартное отклонение ($\sigma_B$) – это корень квадратный из выборочной дисперсии. Оно измеряется в тех же единицах, что и исходные данные.

$\sigma_B = \sqrt{D_B} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}}$

Примечание: В статистическом анализе для оценки дисперсии генеральной совокупности по выборке часто используют исправленную (несмещённую) выборочную дисперсию ($s^2$), в знаменателе которой стоит $n-1$ вместо $\text{n}$. Соответственно, исправленное стандартное отклонение будет $s = \sqrt{s^2}$.

Формула для исправленной выборочной дисперсии:

$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$

Формула для исправленного стандартного отклонения:

$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}$

Ответ:

Формула выборочной дисперсии: $D_B = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$.

Формула выборочного стандартного отклонения: $\sigma_B = \sqrt{D_B}$.

Формула исправленной выборочной дисперсии: $s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$.

Формула исправленного стандартного отклонения: $s = \sqrt{s^2}$.

4. В чем заключается статистический смысл дисперсии и стандартного отклонения?

Статистический смысл дисперсии и стандартного отклонения заключается в том, что они являются основными мерами вариативности или разброса данных в выборке. Они показывают, насколько сильно отдельные значения в наборе данных отклоняются от центрального значения, которым чаще всего выступает среднее арифметическое.

Дисперсия представляет собой среднее значение квадратов отклонений всех наблюдений от их среднего.

• Если дисперсия мала (близка к нулю), это означает, что все значения в выборке сгруппированы очень близко к среднему значению. Выборка однородна.
• Если дисперсия велика, это говорит о том, что значения сильно разбросаны вокруг среднего. Выборка неоднородна, и в ней наблюдается большая изменчивость.

Главный недостаток дисперсии как меры разброса — её размерность. Она измеряется в квадратах единиц исходных данных (например, если рост измерялся в сантиметрах, то дисперсия будет в квадратных сантиметрах), что затрудняет её интуитивную интерпретацию.

Стандартное отклонение является более наглядной и часто используемой мерой, так как оно представляет собой квадратный корень из дисперсии.

• Его ключевое преимущество в том, что оно измеряется в тех же единицах, что и исходные данные (в сантиметрах, а не в квадратных сантиметрах, как в примере выше).
• Стандартное отклонение можно интерпретировать как "типичное" или "среднее" расстояние от каждого наблюдения до среднего значения выборки.
• Чем больше стандартное отклонение, тем шире диапазон значений, в котором лежат данные, и тем сильнее они "разбросаны".

Вместе эти две характеристики показывают, насколько репрезентативным является среднее значение. Если разброс мал, среднее хорошо описывает типичное значение в наборе данных. Если разброс велик, среднее может быть плохим представителем данных, так как они сильно варьируются.

Ответ: Статистический смысл дисперсии и стандартного отклонения заключается в количественной оценке степени разброса данных вокруг их среднего значения. Они характеризуют изменчивость признака в совокупности: чем больше их значения, тем дальше в среднем отдельные наблюдения отстоят от центра выборки, и наоборот.