Номер 2.32, страница 96, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.32. Выборка задана таблицей частот:

$x_i$ - варианты: 3, 4, 5, 7, 10

$n_i$ - частоты: 1, 2, 3, 4, 2

Вычислите выборочное среднее, дисперсию и стандартное отклонение.

Выборочное среднее

Выборочное среднее $\bar{x}$ для выборки, представленной в виде таблицы частот, вычисляется по формуле: $\bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} x_i n_i$, где $x_i$ — варианты, $n_i$ — их частоты, а $\text{N}$ — объем выборки.

1. Найдем объем выборки $\text{N}$ как сумму всех частот:

$N = \sum n_i = 1 + 2 + 3 + 4 + 2 = 12$

2. Вычислим сумму произведений вариант на соответствующие им частоты:

$\sum x_i n_i = (3 \cdot 1) + (4 \cdot 2) + (5 \cdot 3) + (7 \cdot 4) + (10 \cdot 2) = 3 + 8 + 15 + 28 + 20 = 74$

3. Рассчитаем выборочное среднее:

$\bar{x} = \frac{74}{12} = \frac{37}{6} \approx 6.17$

Ответ: $\bar{x} = \frac{37}{6} \approx 6.17$.

Дисперсия

Выборочная дисперсия $D_B$ может быть вычислена по формуле: $D_B = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} x_i^2 n_i - (\bar{x})^2$.

1. Вычислим сумму произведений квадратов вариант на их частоты:

$\sum x_i^2 n_i = (3^2 \cdot 1) + (4^2 \cdot 2) + (5^2 \cdot 3) + (7^2 \cdot 4) + (10^2 \cdot 2)$

$= (9 \cdot 1) + (16 \cdot 2) + (25 \cdot 3) + (49 \cdot 4) + (100 \cdot 2)$

$= 9 + 32 + 75 + 196 + 200 = 512$

2. Подставим полученные значения в формулу для дисперсии:

$D_B = \frac{512}{12} - (\frac{37}{6})^2 = \frac{128}{3} - \frac{1369}{36} = \frac{128 \cdot 12}{36} - \frac{1369}{36} = \frac{1536 - 1369}{36} = \frac{167}{36} \approx 4.64$

Ответ: $D_B = \frac{167}{36} \approx 4.64$.

Стандартное отклонение

Выборочное стандартное отклонение $\sigma_B$ (также называемое средним квадратическим отклонением) равно квадратному корню из выборочной дисперсии: $\sigma_B = \sqrt{D_B}$.

Используя ранее вычисленное значение дисперсии:

$\sigma_B = \sqrt{\frac{167}{36}} = \frac{\sqrt{167}}{6} \approx 2.15$

Ответ: $\sigma_B = \frac{\sqrt{167}}{6} \approx 2.15$.