Номер 3.17, страница 106, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.17. Преобразуйте данное выражение так, чтобы его знаменатель не содержал корней:

1) $ \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{5}}; $

2) $ \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{10}}; $

3) $ \frac{2}{\sqrt[3]{3}-1}; $

4) $ \frac{7}{\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{2}}. $

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{5}}$, необходимо домножить числитель и знаменатель на такой множитель, чтобы в знаменателе исчез корень. Для $\sqrt[3]{5}$ таким множителем является $\sqrt[3]{5^2} = \sqrt[3]{25}$, так как $\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{5^2} = \sqrt[3]{5^3} = 5$. Выполним умножение: $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{5}} = \frac{\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{25}} = \frac{\sqrt[3]{75}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{\sqrt[3]{75}}{5}$. В результате знаменатель стал рациональным числом.

Ответ: $\frac{\sqrt[3]{75}}{5}$.

2) Данное выражение можно сначала упростить, используя свойство $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$. Получим: $\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{10}} = \sqrt[3]{\frac{2}{10}} = \sqrt[3]{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt[3]{5}}$. Теперь, чтобы избавиться от корня в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на $\sqrt[3]{5^2} = \sqrt[3]{25}$: $\frac{1 \cdot \sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{25}} = \frac{\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{5^3}} = \frac{\sqrt[3]{25}}{5}$.

Ответ: $\frac{\sqrt[3]{25}}{5}$.

3) В знаменателе находится разность $\sqrt[3]{3}-1$. Чтобы избавиться от иррациональности, используем формулу сокращенного умножения для разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$. В нашем случае $a=\sqrt[3]{3}$ и $b=1$. Знаменатель имеет вид $(a-b)$, поэтому его нужно домножить на сопряженное выражение, которым является неполный квадрат суммы $(a^2+ab+b^2) = ((\sqrt[3]{3})^2 + \sqrt[3]{3} \cdot 1 + 1^2) = (\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1)$. Домножим на это выражение и числитель, и знаменатель: $\frac{2}{\sqrt[3]{3}-1} = \frac{2(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1)}{(\sqrt[3]{3}-1)(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1)} = \frac{2(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1)}{(\sqrt[3]{3})^3 - 1^3} = \frac{2(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1)}{2} = \sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1$.

Ответ: $\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1$.

4) В знаменателе находится сумма $\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{2}$. Для избавления от иррациональности используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. Здесь $a=\sqrt[3]{5}$ и $b=\sqrt[3]{2}$. Знаменатель имеет вид $(a+b)$, поэтому его нужно домножить на сопряженное выражение — неполный квадрат разности $(a^2-ab+b^2) = ((\sqrt[3]{5})^2 - \sqrt[3]{5}\sqrt[3]{2} + (\sqrt[3]{2})^2) = (\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4})$. Домножим на это выражение и числитель, и знаменатель: $\frac{7}{\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{2}} = \frac{7(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4})}{(\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4})} = \frac{7(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4})}{(\sqrt[3]{5})^3 + (\sqrt[3]{2})^3} = \frac{7(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4})}{5+2} = \frac{7(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4})}{7} = \sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4}$.

Ответ: $\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4}$.