Работа в группе, страница 109, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Работа в группе

Докажите свойство 5 и приведите соответствующий пример.

5) $(\frac{a}{b})^p = \frac{a^p}{b^p}$

5)

Требуется доказать свойство возведения дроби в степень: $ \left(\frac{a}{b}\right)^p = \frac{a^p}{b^p} $, при условии, что $ b \neq 0 $.

Доказательство:

Для доказательства воспользуемся определением степени с натуральным показателем $ p $. Возвести число в степень $ p $ означает умножить это число само на себя $ p $ раз. В нашем случае основанием степени является дробь $ \frac{a}{b} $.

$ \left(\frac{a}{b}\right)^p = \underbrace{\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \ldots \cdot \frac{a}{b}}_{p \text{ множителей}} $

Согласно правилу умножения дробей, произведение нескольких дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей исходных дробей.

$ \frac{\overbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}^{p \text{ множителей}}}{\underbrace{b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}_{p \text{ множителей}}} $

Произведение $ p $ множителей, каждый из которых равен $ a $, по определению является степенью $ a^p $. Аналогично, произведение $ p $ множителей, каждый из которых равен $ b $, является степенью $ b^p $.

Следовательно, мы получаем:

$ \left(\frac{a}{b}\right)^p = \frac{a^p}{b^p} $

Что и требовалось доказать. Данное доказательство проведено для натурального показателя степени $ p $. Это свойство также справедливо и для целых, рациональных и действительных показателей.

Пример:

Проверим справедливость данного свойства на конкретном примере. Пусть $ a = 2 $, $ b = 3 $, и $ p = 4 $.

Вычислим значение выражения в левой части равенства:

$ \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{16}{81} $

Теперь вычислим значение выражения в правой части равенства:

$ \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81} $

Поскольку результаты совпали ($ \frac{16}{81} = \frac{16}{81} $), пример подтверждает верность свойства.

Ответ: Свойство $ \left(\frac{a}{b}\right)^p = \frac{a^p}{b^p} $ доказано на основе определения степени и правила умножения дробей. В качестве примера показано, что $ \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81} $.