Номер 3.25, страница 110, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.25. Запишите данное выражение в виде суммы:

1) $a^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}} (a^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}});$

2) $e^{-\frac{1}{3}} \cdot y^{\frac{1}{3}} (e^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}});$

3) $(a^{\frac{2}{3}} - 1)(a^{\frac{1}{3}} + 2);$

4) $(x^{-\frac{3}{4}} + 2)(x^{-\frac{1}{4}} - 3);$

5) $(1 + b^{\frac{1}{2}})(1 - b^{\frac{1}{2}});$

6) $(2 - y^{1.5})(2 + y^{1.5}).$

1) Чтобы записать данное выражение в виде суммы, мы используем распределительное свойство умножения $k(a+b) = ka + kb$. В нашем случае $k = a^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}$. Умножим этот множитель на каждый член в скобках:

$a^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}) = (a^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}}) + (a^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}})$

Применяя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сгруппируем и сложим показатели у одинаковых оснований:

$(a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}}) \cdot x^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}} \cdot (x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}) = a^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} = a^1x^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}x^1$

В результате получаем:

$ax^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}x$

Ответ: $ax^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}x$

2) Раскроем скобки в выражении $e^{-\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}(e^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})$, умножив $e^{-\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}$ на каждый член в скобках:

$e^{-\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} \cdot e^{\frac{1}{3}} + e^{-\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} \cdot y^{\frac{1}{3}}$

Используем свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$e^{-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + e^{-\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}} = e^0y^{\frac{1}{3}} + e^{-\frac{1}{3}}y^{\frac{2}{3}}$

Так как любое число в степени 0 равно 1 (в данном случае $e^0=1$), получаем:

$1 \cdot y^{\frac{1}{3}} + e^{-\frac{1}{3}}y^{\frac{2}{3}} = y^{\frac{1}{3}} + e^{-\frac{1}{3}}y^{\frac{2}{3}}$

Ответ: $y^{\frac{1}{3}} + e^{-\frac{1}{3}}y^{\frac{2}{3}}$

3) Для выражения $(a^{\frac{2}{3}} - 1)(a^{\frac{1}{3}} + 2)$ применим правило умножения многочленов (FOIL), то есть перемножим каждый член первой скобки на каждый член второй:

$(a^{\frac{2}{3}} - 1)(a^{\frac{1}{3}} + 2) = a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{2}{3}} \cdot 2 - 1 \cdot a^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot 2$

Упростим, сложив показатели степеней и выполнив умножение:

$a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}} + 2a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}} - 2 = a^{\frac{3}{3}} + 2a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}} - 2$

$a^1 + 2a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}} - 2 = a + 2a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}} - 2$

Ответ: $a + 2a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}} - 2$

4) Раскроем скобки в выражении $(x^{-\frac{3}{4}} + 2)(x^{-\frac{1}{4}} - 3)$ путем перемножения скобок:

$(x^{-\frac{3}{4}} + 2)(x^{-\frac{1}{4}} - 3) = x^{-\frac{3}{4}} \cdot x^{-\frac{1}{4}} + x^{-\frac{3}{4}} \cdot (-3) + 2 \cdot x^{-\frac{1}{4}} + 2 \cdot (-3)$

Выполним умножение и сложение показателей степеней:

$x^{-\frac{3}{4}-\frac{1}{4}} - 3x^{-\frac{3}{4}} + 2x^{-\frac{1}{4}} - 6 = x^{-\frac{4}{4}} - 3x^{-\frac{3}{4}} + 2x^{-\frac{1}{4}} - 6$

$x^{-1} - 3x^{-\frac{3}{4}} + 2x^{-\frac{1}{4}} - 6$

Ответ: $x^{-1} - 3x^{-\frac{3}{4}} + 2x^{-\frac{1}{4}} - 6$

5) Выражение $(1 + b^{\frac{1}{2}})(1 - b^{\frac{1}{2}})$ представляет собой формулу разности квадратов $(a+c)(a-c) = a^2 - c^2$. В данном случае $a=1$ и $c=b^{\frac{1}{2}}$:

$(1)^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2$

При возведении степени в степень их показатели перемножаются ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):

$1 - b^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1 - b^1 = 1 - b$

Ответ: $1 - b$

6) Выражение $(2 - y^{1.5})(2 + y^{1.5})$ также является разностью квадратов $(a-c)(a+c)=a^2-c^2$. Здесь $a=2$ и $c=y^{1.5}$:

$(2)^2 - (y^{1.5})^2$

Упростим, перемножив показатели степени:

$4 - y^{1.5 \cdot 2} = 4 - y^3$

Ответ: $4 - y^3$