Номер 3.32, страница 111, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.32. Разложите на множители, используя формулу $a^3 \pm b^3 = (a \pm b) \times (a^2 \mp ab + b^2):$

1) $(x^{\frac{1}{2}})^3 - 8;$

2) $(y^{\frac{1}{2}})^3 + 27;$

3) $(p^{\frac{1}{3}})^2 + 1;$

4) $q^{\frac{6}{5}} - 125;$

5) $125 - b;$

6) $y - 2^{\frac{2}{3}};$

7) $a^{0.9} - 8b;$

8) $x + 1000;$

9) $a^{2.4} + b^{0.5}.$

1)

Рассмотрим выражение $(x^{\frac{1}{2}})^3 - 8$. Чтобы разложить его на множители, представим его в виде разности кубов $a^3 - b^3$.

Первый член $(x^{\frac{1}{2}})^3$ является кубом выражения $x^{\frac{1}{2}}$, таким образом $a = x^{\frac{1}{2}}$.

Второй член $\text{8}$ можно представить как $2^3$, таким образом $b = 2$.

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Подставляем $a = x^{\frac{1}{2}}$ и $b = 2$ в формулу:

$(x^{\frac{1}{2}} - 2)((x^{\frac{1}{2}})^2 + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 2^2)$

Упрощая выражение во второй скобке, получаем:

$(x^{\frac{1}{2}} - 2)(x + 2x^{\frac{1}{2}} + 4)$

Ответ: $(x^{\frac{1}{2}} - 2)(x + 2x^{\frac{1}{2}} + 4)$.

2)

Рассмотрим выражение $(y^{\frac{1}{2}})^3 + 27$. Чтобы разложить его на множители, представим его в виде суммы кубов $a^3 + b^3$.

Первый член $(y^{\frac{1}{2}})^3$ является кубом выражения $y^{\frac{1}{2}}$, таким образом $a = y^{\frac{1}{2}}$.

Второй член $27$ можно представить как $3^3$, таким образом $b = 3$.

Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Подставляем $a = y^{\frac{1}{2}}$ и $b = 3$ в формулу:

$(y^{\frac{1}{2}} + 3)((y^{\frac{1}{2}})^2 - y^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + 3^2)$

Упрощая выражение во второй скобке, получаем:

$(y^{\frac{1}{2}} + 3)(y - 3y^{\frac{1}{2}} + 9)$

Ответ: $(y^{\frac{1}{2}} + 3)(y - 3y^{\frac{1}{2}} + 9)$.

3)

Рассмотрим выражение $p^{\frac{2}{3}} + 1$. Чтобы разложить его на множители, представим его в виде суммы кубов $a^3 + b^3$.

Первый член $p^{\frac{2}{3}}$ можно представить как $(p^{\frac{2}{9}})^3$, так как $(p^{\frac{2}{9}})^3 = p^{\frac{2 \cdot 3}{9}} = p^{\frac{6}{9}} = p^{\frac{2}{3}}$. Таким образом $a = p^{\frac{2}{9}}$.

Второй член $\text{1}$ можно представить как $1^3$, таким образом $b = 1$.

Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Подставляем $a = p^{\frac{2}{9}}$ и $b = 1$ в формулу:

$(p^{\frac{2}{9}} + 1)((p^{\frac{2}{9}})^2 - p^{\frac{2}{9}} \cdot 1 + 1^2)$

Упрощая выражение во второй скобке, получаем:

$(p^{\frac{2}{9}} + 1)(p^{\frac{4}{9}} - p^{\frac{2}{9}} + 1)$

Ответ: $(p^{\frac{2}{9}} + 1)(p^{\frac{4}{9}} - p^{\frac{2}{9}} + 1)$.

4)

Рассмотрим выражение $q^{\frac{6}{5}} - 125$. Чтобы разложить его на множители, представим его в виде разности кубов $a^3 - b^3$.

Первый член $q^{\frac{6}{5}}$ можно представить как $(q^{\frac{2}{5}})^3$, так как $(q^{\frac{2}{5}})^3 = q^{\frac{2 \cdot 3}{5}} = q^{\frac{6}{5}}$. Таким образом $a = q^{\frac{2}{5}}$.

Второй член $125$ можно представить как $5^3$, таким образом $b = 5$.

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Подставляем $a = q^{\frac{2}{5}}$ и $b = 5$ в формулу:

$(q^{\frac{2}{5}} - 5)((q^{\frac{2}{5}})^2 + q^{\frac{2}{5}} \cdot 5 + 5^2)$

Упрощая выражение во второй скобке, получаем:

$(q^{\frac{2}{5}} - 5)(q^{\frac{4}{5}} + 5q^{\frac{2}{5}} + 25)$

Ответ: $(q^{\frac{2}{5}} - 5)(q^{\frac{4}{5}} + 5q^{\frac{2}{5}} + 25)$.

5)

Рассмотрим выражение $125 - b$. Чтобы разложить его на множители, представим его в виде разности кубов $a^3 - b^3$.

Первый член $125$ можно представить как $5^3$, таким образом $a = 5$.

Второй член $\text{b}$ можно представить как $(b^{\frac{1}{3}})^3$. Таким образом $\text{b}$ в формуле равно $b^{\frac{1}{3}}$.

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Подставляем $a = 5$ и $b = b^{\frac{1}{3}}$ в формулу:

$(5 - b^{\frac{1}{3}})(5^2 + 5 \cdot b^{\frac{1}{3}} + (b^{\frac{1}{3}})^2)$

Упрощая выражение во второй скобке, получаем:

$(5 - b^{\frac{1}{3}})(25 + 5b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$

Ответ: $(5 - b^{\frac{1}{3}})(25 + 5b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$.

6)

Рассмотрим выражение $y - z^{\frac{3}{2}}$. Чтобы разложить его на множители, представим его в виде разности кубов $a^3 - b^3$.

Первый член $\text{y}$ можно представить как $(y^{\frac{1}{3}})^3$, таким образом $a = y^{\frac{1}{3}}$.

Второй член $z^{\frac{3}{2}}$ можно представить как $(z^{\frac{1}{2}})^3$, таким образом $b = z^{\frac{1}{2}}$.

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Подставляем $a = y^{\frac{1}{3}}$ и $b = z^{\frac{1}{2}}$ в формулу:

$(y^{\frac{1}{3}} - z^{\frac{1}{2}})((y^{\frac{1}{3}})^2 + y^{\frac{1}{3}}z^{\frac{1}{2}} + (z^{\frac{1}{2}})^2)$

Упрощая выражение во второй скобке, получаем:

$(y^{\frac{1}{3}} - z^{\frac{1}{2}})(y^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{1}{3}}z^{\frac{1}{2}} + z)$

Ответ: $(y^{\frac{1}{3}} - z^{\frac{1}{2}})(y^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{1}{3}}z^{\frac{1}{2}} + z)$.

7)

Рассмотрим выражение $a^{0.9} - 8b$. Чтобы разложить его на множители, представим его в виде разности кубов $x^3 - y^3$.

Первый член $a^{0.9}$ можно представить как $(a^{0.3})^3$, таким образом $x = a^{0.3}$.

Второй член $8b$ можно представить как $(2b^{\frac{1}{3}})^3$, так как $2^3=8$ и $(b^{\frac{1}{3}})^3=b$. Таким образом $y = 2b^{\frac{1}{3}}$.

Применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

Подставляем $x = a^{0.3}$ и $y = 2b^{\frac{1}{3}}$ в формулу:

$(a^{0.3} - 2b^{\frac{1}{3}})((a^{0.3})^2 + a^{0.3} \cdot 2b^{\frac{1}{3}} + (2b^{\frac{1}{3}})^2)$

Упрощая выражение во второй скобке, получаем:

$(a^{0.3} - 2b^{\frac{1}{3}})(a^{0.6} + 2a^{0.3}b^{\frac{1}{3}} + 4b^{\frac{2}{3}})$

Ответ: $(a^{0.3} - 2b^{\frac{1}{3}})(a^{0.6} + 2a^{0.3}b^{\frac{1}{3}} + 4b^{\frac{2}{3}})$.

8)

Рассмотрим выражение $x + 1000$. Чтобы разложить его на множители, представим его в виде суммы кубов $a^3 + b^3$.

Первый член $\text{x}$ можно представить как $(x^{\frac{1}{3}})^3$, таким образом $a = x^{\frac{1}{3}}$.

Второй член $1000$ можно представить как $10^3$, таким образом $b = 10$.

Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Подставляем $a = x^{\frac{1}{3}}$ и $b = 10$ в формулу:

$(x^{\frac{1}{3}} + 10)((x^{\frac{1}{3}})^2 - x^{\frac{1}{3}} \cdot 10 + 10^2)$

Упрощая выражение во второй скобке, получаем:

$(x^{\frac{1}{3}} + 10)(x^{\frac{2}{3}} - 10x^{\frac{1}{3}} + 100)$

Ответ: $(x^{\frac{1}{3}} + 10)(x^{\frac{2}{3}} - 10x^{\frac{1}{3}} + 100)$.

9)

Рассмотрим выражение $a^{2.4} + b^{0.6}$. Чтобы разложить его на множители, представим его в виде суммы кубов $x^3 + y^3$.

Первый член $a^{2.4}$ можно представить как $(a^{0.8})^3$, таким образом $x = a^{0.8}$.

Второй член $b^{0.6}$ можно представить как $(b^{0.2})^3$, таким образом $y = b^{0.2}$.

Применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

Подставляем $x = a^{0.8}$ и $y = b^{0.2}$ в формулу:

$(a^{0.8} + b^{0.2})((a^{0.8})^2 - a^{0.8}b^{0.2} + (b^{0.2})^2)$

Упрощая выражение во второй скобке, получаем:

$(a^{0.8} + b^{0.2})(a^{1.6} - a^{0.8}b^{0.2} + b^{0.4})$

Ответ: $(a^{0.8} + b^{0.2})(a^{1.6} - a^{0.8}b^{0.2} + b^{0.4})$.