Номер 3.38, страница 112, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.38. Упростите выражение:

1) $\left(\frac{4}{\frac{1}{c^2}}\right)^{\frac{1}{6}} \cdot \left(\frac{c^{\frac{4}{3}}}{8}\right)^{\frac{1}{9}}$

2) $\left(\frac{27x^{\frac{1}{2}}}{z^{0.2}}\right)^{2.5} \cdot \left(\frac{z^{\frac{1}{12}}}{3\sqrt[4]{3}x^{\frac{1}{24}}}\right)^{6}$

1)

Исходное выражение: $ (\frac{4}{c^{\frac{1}{2}}})^{\frac{1}{6}} \cdot (\frac{c^{\frac{3}{4}}}{8})^{\frac{1}{9}} $.

Для упрощения выражения воспользуемся свойствами степеней. Сначала применим свойство степени дроби $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ к каждому множителю:

$ \frac{4^{\frac{1}{6}}}{(c^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{6}}} \cdot \frac{(c^{\frac{3}{4}})^{\frac{1}{9}}}{8^{\frac{1}{9}}} $

Теперь представим числа 4 и 8 в виде степеней двойки: $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$. Затем применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ ко всем частям выражения:

$ \frac{(2^2)^{\frac{1}{6}}}{c^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}}} \cdot \frac{c^{\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{9}}}{(2^3)^{\frac{1}{9}}} = \frac{2^{2 \cdot \frac{1}{6}}}{c^{\frac{1}{12}}} \cdot \frac{c^{\frac{3}{36}}}{2^{3 \cdot \frac{1}{9}}} $

Упростим показатели степеней, выполнив умножение и сокращение дробей:

$ \frac{2^{\frac{2}{6}}}{c^{\frac{1}{12}}} \cdot \frac{c^{\frac{1}{12}}}{2^{\frac{3}{9}}} = \frac{2^{\frac{1}{3}}}{c^{\frac{1}{12}}} \cdot \frac{c^{\frac{1}{12}}}{2^{\frac{1}{3}}} $

Теперь мы можем сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$ \frac{2^{\frac{1}{3}}}{2^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{c^{\frac{1}{12}}}{c^{\frac{1}{12}}} = 1 \cdot 1 = 1 $

Ответ: 1

2)

Исходное выражение: $ (\frac{27x^{\frac{1}{2}}}{z^{0,2}})^{2,5} \cdot (\frac{z^{\frac{1}{12}}}{3\sqrt[4]{3}x^{\frac{1}{24}}})^6 $.

Сначала преобразуем десятичные дроби в обыкновенные и корень в степень, чтобы работать с дробными показателями: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$; $2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$. Также преобразуем выражение в знаменателе второй дроби: $3\sqrt[4]{3} = 3^1 \cdot 3^{\frac{1}{4}} = 3^{1+\frac{1}{4}} = 3^{\frac{5}{4}}$.

Подставим эти значения обратно в исходное выражение:

$ (\frac{27x^{\frac{1}{2}}}{z^{\frac{1}{5}}})^{\frac{5}{2}} \cdot (\frac{z^{\frac{1}{12}}}{3^{\frac{5}{4}}x^{\frac{1}{24}}})^6 $

Возведем каждую дробь в соответствующую степень, используя свойство $(\frac{a \cdot b}{c})^n = \frac{a^n \cdot b^n}{c^n}$:

$ \frac{27^{\frac{5}{2}} \cdot (x^{\frac{1}{2}})^{\frac{5}{2}}}{(z^{\frac{1}{5}})^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{(z^{\frac{1}{12}})^6}{(3^{\frac{5}{4}})^6 \cdot (x^{\frac{1}{24}})^6} $

Представим число 27 как степень тройки ($27 = 3^3$) и применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$ \frac{(3^3)^{\frac{5}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2}}}{z^{\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{2}}} \cdot \frac{z^{\frac{1}{12} \cdot 6}}{3^{\frac{5}{4} \cdot 6} \cdot x^{\frac{1}{24} \cdot 6}} = \frac{3^{\frac{15}{2}} \cdot x^{\frac{5}{4}}}{z^{\frac{5}{10}}} \cdot \frac{z^{\frac{6}{12}}}{3^{\frac{30}{4}} \cdot x^{\frac{6}{24}}} $

Упростим показатели степеней, сократив дроби:

$ \frac{3^{\frac{15}{2}} \cdot x^{\frac{5}{4}}}{z^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{z^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{15}{2}} \cdot x^{\frac{1}{4}}} $

Теперь перегруппируем множители, чтобы сгруппировать степени с одинаковыми основаниями, и произведем сокращение:

$ \frac{3^{\frac{15}{2}}}{3^{\frac{15}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{5}{4}}}{x^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{z^{\frac{1}{2}}}{z^{\frac{1}{2}}} $

Дроби с основаниями 3 и $\text{z}$ равны 1. Для основания $\text{x}$ применим свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$ 1 \cdot x^{\frac{5}{4}-\frac{1}{4}} \cdot 1 = x^{\frac{4}{4}} = x^1 = x $

Ответ: $\text{x}$