Номер 3.44, страница 113, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.44. Пользуясь формулой $a^n - 1 = (a - 1)(a^{n-1} + a^{n-2} + \dots + a + 1)$, разложите выражение $x - 1$ на множители, один из которых равен:

1) $x^{\frac{1}{4}} - 1$;

2) $x^{\frac{1}{5}} - 1$;

3) $x^{\frac{1}{6}} - 1$.

1) Чтобы разложить выражение $x - 1$ на множители, так чтобы одним из них был $x^{\frac{1}{4}} - 1$, необходимо представить $\text{x}$ в виде степени с основанием $x^{\frac{1}{4}}$.

Сделаем замену: пусть $a = x^{\frac{1}{4}}$. Тогда $x = (x^{\frac{1}{4}})^4 = a^4$.

Следовательно, исходное выражение $x - 1$ можно переписать в виде $a^4 - 1$.

Теперь применим данную в условии формулу $a^n - 1 = (a - 1)(a^{n-1} + a^{n-2} + \dots + a + 1)$ для $n = 4$:

$a^4 - 1 = (a - 1)(a^3 + a^2 + a + 1)$.

Выполним обратную замену, подставив $a = x^{\frac{1}{4}}$:

$x - 1 = (x^{\frac{1}{4}} - 1)((x^{\frac{1}{4}})^3 + (x^{\frac{1}{4}})^2 + (x^{\frac{1}{4}})^1 + 1)$.

Упростим второй множитель, используя свойство степени $(b^m)^n = b^{mn}$:

$x - 1 = (x^{\frac{1}{4}} - 1)(x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{2}{4}} + x^{\frac{1}{4}} + 1) = (x^{\frac{1}{4}} - 1)(x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} + 1)$.

Ответ: $(x^{\frac{1}{4}} - 1)(x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} + 1)$.

2) Чтобы разложить выражение $x - 1$ на множители, так чтобы одним из них был $x^{\frac{1}{5}} - 1$, представим $\text{x}$ в виде степени с основанием $x^{\frac{1}{5}}$.

Сделаем замену: пусть $a = x^{\frac{1}{5}}$. Тогда $x = (x^{\frac{1}{5}})^5 = a^5$.

Исходное выражение $x - 1$ принимает вид $a^5 - 1$.

Применим формулу разложения для $n = 5$:

$a^5 - 1 = (a - 1)(a^4 + a^3 + a^2 + a + 1)$.

Выполним обратную замену, подставив $a = x^{\frac{1}{5}}$:

$x - 1 = (x^{\frac{1}{5}} - 1)((x^{\frac{1}{5}})^4 + (x^{\frac{1}{5}})^3 + (x^{\frac{1}{5}})^2 + (x^{\frac{1}{5}})^1 + 1)$.

Упростим второй множитель:

$x - 1 = (x^{\frac{1}{5}} - 1)(x^{\frac{4}{5}} + x^{\frac{3}{5}} + x^{\frac{2}{5}} + x^{\frac{1}{5}} + 1)$.

Ответ: $(x^{\frac{1}{5}} - 1)(x^{\frac{4}{5}} + x^{\frac{3}{5}} + x^{\frac{2}{5}} + x^{\frac{1}{5}} + 1)$.

3) Чтобы разложить выражение $x - 1$ на множители, так чтобы одним из них был $x^{\frac{1}{6}} - 1$, представим $\text{x}$ в виде степени с основанием $x^{\frac{1}{6}}$.

Сделаем замену: пусть $a = x^{\frac{1}{6}}$. Тогда $x = (x^{\frac{1}{6}})^6 = a^6$.

Исходное выражение $x - 1$ принимает вид $a^6 - 1$.

Применим формулу разложения для $n = 6$:

$a^6 - 1 = (a - 1)(a^5 + a^4 + a^3 + a^2 + a + 1)$.

Выполним обратную замену, подставив $a = x^{\frac{1}{6}}$:

$x - 1 = (x^{\frac{1}{6}} - 1)((x^{\frac{1}{6}})^5 + (x^{\frac{1}{6}})^4 + (x^{\frac{1}{6}})^3 + (x^{\frac{1}{6}})^2 + (x^{\frac{1}{6}})^1 + 1)$.

Упростим второй множитель, сокращая дроби в показателях степеней:

$x - 1 = (x^{\frac{1}{6}} - 1)(x^{\frac{5}{6}} + x^{\frac{4}{6}} + x^{\frac{3}{6}} + x^{\frac{2}{6}} + x^{\frac{1}{6}} + 1) = (x^{\frac{1}{6}} - 1)(x^{\frac{5}{6}} + x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{6}} + 1)$.

Ответ: $(x^{\frac{1}{6}} - 1)(x^{\frac{5}{6}} + x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{6}} + 1)$.