Номер 3.43, страница 113, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.43. Разложите на множители:

1) $x-y+x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}$;

2) $u-v^{\frac{1}{2}}+u^{\frac{1}{2}}-v$;

3) $a+2a^{\frac{2}{3}}+2a^{\frac{1}{3}}+1$;

4) $2b^2+b^{\frac{8}{3}}+b^{\frac{2}{3}}+2$;

5) $x+5x^{\frac{1}{2}}+4$;

6) $y^{\frac{1}{2}}-13y^{\frac{1}{4}}+36$.

1) Для разложения на множители представим $\text{x}$ как $(x^{\frac{1}{2}})^2$ и $\text{y}$ как $(y^{\frac{1}{2}})^2$, а затем сгруппируем слагаемые:

$x - y + x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} = (x - y) + (x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}) = ((x^{\frac{1}{2}})^2 - (y^{\frac{1}{2}})^2) + (x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению в первых скобках:

$(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}) + (x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})$.

Теперь можно вынести общий множитель $(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})$ за скобки:

$(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}) \cdot ((x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}) + 1) = (x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}} + 1)$.

Ответ: $(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}} + 1)$.

2) Сгруппируем слагаемые, переставив их местами: $u - v + u^{\frac{1}{2}} - v^{\frac{1}{2}}$.

$(u - v) + (u^{\frac{1}{2}} - v^{\frac{1}{2}})$.

Представим $\text{u}$ как $(u^{\frac{1}{2}})^2$ и $\text{v}$ как $(v^{\frac{1}{2}})^2$ и применим формулу разности квадратов к первой группе:

$((u^{\frac{1}{2}})^2 - (v^{\frac{1}{2}})^2) + (u^{\frac{1}{2}} - v^{\frac{1}{2}}) = (u^{\frac{1}{2}} - v^{\frac{1}{2}})(u^{\frac{1}{2}} + v^{\frac{1}{2}}) + (u^{\frac{1}{2}} - v^{\frac{1}{2}})$.

Вынесем общий множитель $(u^{\frac{1}{2}} - v^{\frac{1}{2}})$ за скобки:

$(u^{\frac{1}{2}} - v^{\frac{1}{2}})((u^{\frac{1}{2}} + v^{\frac{1}{2}}) + 1) = (u^{\frac{1}{2}} - v^{\frac{1}{2}})(u^{\frac{1}{2}} + v^{\frac{1}{2}} + 1)$.

Ответ: $(u^{\frac{1}{2}} - v^{\frac{1}{2}})(u^{\frac{1}{2}} + v^{\frac{1}{2}} + 1)$.

3) Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$a + 2a^{\frac{2}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}} + 1 = (a + 1) + (2a^{\frac{2}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}})$.

К выражению $(a+1)$ применим формулу суммы кубов, представив $a = (a^{\frac{1}{3}})^3$. Из второй группы вынесем общий множитель $2a^{\frac{1}{3}}$:

$a+1 = (a^{\frac{1}{3}})^3 + 1^3 = (a^{\frac{1}{3}} + 1)(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}} + 1)$.

$2a^{\frac{2}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}} = 2a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{3}} + 1)$.

Подставим это в исходное сгруппированное выражение:

$(a^{\frac{1}{3}} + 1)(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}} + 1) + 2a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{3}} + 1)$.

Вынесем общий множитель $(a^{\frac{1}{3}} + 1)$ за скобки:

$(a^{\frac{1}{3}} + 1)((a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}} + 1) + 2a^{\frac{1}{3}})$.

Упростим выражение во вторых скобках:

$(a^{\frac{1}{3}} + 1)(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}} + 1)$.

Ответ: $(a^{\frac{1}{3}} + 1)(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}} + 1)$.

4) Сгруппируем слагаемые попарно:

$2b^2 + b^{\frac{8}{3}} + b^{\frac{2}{3}} + 2 = (2b^2 + 2) + (b^{\frac{8}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$.

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем 2. Из второй группы вынесем $b^{\frac{2}{3}}$, используя свойство $b^{\frac{8}{3}} = b^{\frac{6}{3}} \cdot b^{\frac{2}{3}} = b^2 \cdot b^{\frac{2}{3}}$:

$2(b^2 + 1) + b^{\frac{2}{3}}(b^2 + 1)$.

Вынесем общий множитель $(b^2 + 1)$ за скобки:

$(2 + b^{\frac{2}{3}})(b^2 + 1)$.

Ответ: $(2 + b^{\frac{2}{3}})(b^2 + 1)$.

5) Данное выражение является квадратным трехчленом относительно $x^{\frac{1}{2}}$. Сделаем замену $t = x^{\frac{1}{2}}$, тогда $x = (x^{\frac{1}{2}})^2 = t^2$.

$x + 5x^{\frac{1}{2}} + 4 = t^2 + 5t + 4$.

Разложим полученный квадратный трехчлен на множители. Корнями уравнения $t^2 + 5t + 4 = 0$ по теореме Виета являются $t_1 = -1$ и $t_2 = -4$.

Следовательно, $t^2 + 5t + 4 = (t - (-1))(t - (-4)) = (t+1)(t+4)$.

Выполним обратную замену $t = x^{\frac{1}{2}}$:

$(x^{\frac{1}{2}} + 1)(x^{\frac{1}{2}} + 4)$.

Ответ: $(x^{\frac{1}{2}} + 1)(x^{\frac{1}{2}} + 4)$.

6) Данное выражение является квадратным трехчленом относительно $y^{\frac{1}{4}}$. Сделаем замену $t = y^{\frac{1}{4}}$, тогда $y^{\frac{1}{2}} = (y^{\frac{1}{4}})^2 = t^2$.

$y^{\frac{1}{2}} - 13y^{\frac{1}{4}} + 36 = t^2 - 13t + 36$.

Разложим полученный квадратный трехчлен на множители. Корнями уравнения $t^2 - 13t + 36 = 0$ по теореме Виета являются $t_1 = 4$ и $t_2 = 9$.

Следовательно, $t^2 - 13t + 36 = (t - 4)(t - 9)$.

Выполним обратную замену $t = y^{\frac{1}{4}}$:

$(y^{\frac{1}{4}} - 4)(y^{\frac{1}{4}} - 9)$.

Каждый из полученных множителей можно разложить дальше как разность квадратов, так как $y^{\frac{1}{4}} = (y^{\frac{1}{8}})^2$, $4 = 2^2$ и $9 = 3^2$:

$( (y^{\frac{1}{8}})^2 - 2^2 ) ( (y^{\frac{1}{8}})^2 - 3^2 ) = (y^{\frac{1}{8}} - 2)(y^{\frac{1}{8}} + 2)(y^{\frac{1}{8}} - 3)(y^{\frac{1}{8}} + 3)$.

Ответ: $(y^{\frac{1}{8}} - 2)(y^{\frac{1}{8}} + 2)(y^{\frac{1}{8}} - 3)(y^{\frac{1}{8}} + 3)$.