Номер 3.36, страница 112, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.36. Вычислите значение выражения:

1) $ \left( \frac{a^{\frac{5}{12}} \cdot a^{-\frac{3}{8}}}{a^{\frac{7}{24}}} \right)^{-\frac{4}{3}} $ при $a = 125$;

2) $ \left( \frac{b^{\frac{2}{3}} \cdot c^{\frac{1}{4}}}{b^{\frac{1}{6}} \cdot c^{-\frac{1}{2}}} \right)^{\frac{2}{3}} $ при $b = 0,001, c = 25$.

1) Для вычисления значения выражения $\left(\frac{a^{\frac{5}{12}} \cdot a^{-\frac{3}{8}}}{a^{\frac{7}{24}}}\right)^{-\frac{4}{3}}$ при $a = 125$ сначала упростим его, используя свойства степеней.

1. Упростим числитель дроби в скобках. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

$a^{\frac{5}{12}} \cdot a^{-\frac{3}{8}} = a^{\frac{5}{12} + (-\frac{3}{8})} = a^{\frac{5}{12} - \frac{3}{8}}$

Приведем дроби в показателе к общему знаменателю 24:

$\frac{5}{12} - \frac{3}{8} = \frac{5 \cdot 2}{24} - \frac{3 \cdot 3}{24} = \frac{10 - 9}{24} = \frac{1}{24}$

Таким образом, числитель равен $a^{\frac{1}{24}}$.

2. Упростим дробь в скобках. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

$\frac{a^{\frac{1}{24}}}{a^{\frac{7}{24}}} = a^{\frac{1}{24} - \frac{7}{24}} = a^{-\frac{6}{24}} = a^{-\frac{1}{4}}$

3. Возведем полученное выражение в степень $-\frac{4}{3}$. При возведении степени в степень показатели перемножаются:

$(a^{-\frac{1}{4}})^{-\frac{4}{3}} = a^{(-\frac{1}{4}) \cdot (-\frac{4}{3})} = a^{\frac{4}{12}} = a^{\frac{1}{3}}$

4. Теперь, когда выражение упрощено до $a^{\frac{1}{3}}$, подставим значение $a = 125$:

$125^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{125}$

Так как $5^3 = 125$, то $\sqrt[3]{125} = 5$.

Ответ: 5.

2) Для вычисления значения выражения $\left(\frac{b^{\frac{2}{3}} \cdot c^{\frac{1}{4}}}{b^{\frac{1}{6}} \cdot c^{-\frac{1}{2}}}\right)^{\frac{2}{3}}$ при $b = 0,001$ и $c = 25$ сначала упростим его.

1. Упростим выражение в скобках, разделив степени с одинаковыми основаниями:

$\frac{b^{\frac{2}{3}}}{b^{\frac{1}{6}}} \cdot \frac{c^{\frac{1}{4}}}{c^{-\frac{1}{2}}} = b^{\frac{2}{3}-\frac{1}{6}} \cdot c^{\frac{1}{4}-(-\frac{1}{2})}$

Упростим показатели для каждого основания:

Для $\text{b}$: $\frac{2}{3} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Для $\text{c}$: $\frac{1}{4} - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}$.

Таким образом, выражение в скобках равно $b^{\frac{1}{2}} \cdot c^{\frac{3}{4}}$.

2. Возведем полученное выражение в степень $\frac{2}{3}$:

$(b^{\frac{1}{2}} \cdot c^{\frac{3}{4}})^{\frac{2}{3}} = (b^{\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}} \cdot (c^{\frac{3}{4}})^{\frac{2}{3}} = b^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}} \cdot c^{\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3}}$

Перемножим показатели:

Для $\text{b}$: $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

Для $\text{c}$: $\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2}$.

Итоговое упрощенное выражение: $b^{\frac{1}{3}} \cdot c^{\frac{1}{2}}$.

3. Подставим значения $b = 0,001$ и $c = 25$. Представим эти числа в виде степеней:

$b = 0,001 = \frac{1}{1000} = 10^{-3}$

$c = 25 = 5^2$

4. Вычислим значение:

$(10^{-3})^{\frac{1}{3}} \cdot (5^2)^{\frac{1}{2}} = 10^{-3 \cdot \frac{1}{3}} \cdot 5^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 10^{-1} \cdot 5^1 = \frac{1}{10} \cdot 5 = \frac{5}{10} = 0,5$.

Ответ: 0,5.