Номер 3.29, страница 111, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.29. Запишите в виде суммы:

1) $(2p^{\frac{1}{3}} + q^{-1})(2p^{\frac{1}{3}} - q^{-1});$

2) $(1 + b^{\frac{1}{2}})^2;$

3) $(x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}})^2;$

4) $(a^{\frac{1}{2}} + b^{-\frac{1}{2}})^2;$

5) $\left( (a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}) \right)^2;$

6) $\left( (x^{-\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{4}})(x^{-\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{4}}) \right)^2.$

1) Для преобразования данного произведения в сумму воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. В нашем случае $a = 2p^{\frac{1}{8}}$ и $b = q^{-1}$.

$(2p^{\frac{1}{8}} + q^{-1})(2p^{\frac{1}{8}} - q^{-1}) = (2p^{\frac{1}{8}})^2 - (q^{-1})^2 = 2^2 \cdot p^{\frac{1}{8} \cdot 2} - q^{-1 \cdot 2} = 4p^{\frac{2}{8}} - q^{-2} = 4p^{\frac{1}{4}} - q^{-2}$.

Ответ: $4p^{\frac{1}{4}} - q^{-2}$.

2) Данное выражение является квадратом суммы. Применим формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Здесь $a=1$ и $b=b^{\frac{1}{2}}$.

$(1 + b^{\frac{1}{2}})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot b^{\frac{1}{2}} + (b^{\frac{1}{2}})^2 = 1 + 2b^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1 + 2b^{\frac{1}{2}} + b$.

Ответ: $1 + 2b^{\frac{1}{2}} + b$.

3) Данное выражение является квадратом разности. Применим формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=x^{\frac{1}{3}}$ и $b=y^{\frac{1}{3}}$.

$(x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}})^2 = (x^{\frac{1}{3}})^2 - 2 \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot y^{\frac{1}{3}} + (y^{\frac{1}{3}})^2 = x^{\frac{2}{3}} - 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}}$.

Ответ: $x^{\frac{2}{3}} - 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}}$.

4) Данное выражение является квадратом суммы. Применим формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Здесь $a=a^{\frac{1}{2}}$ и $b=b^{-\frac{1}{2}}$.

$(a^{\frac{1}{2}} + b^{-\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}})^2 + 2 \cdot a^{\frac{1}{2}} \cdot b^{-\frac{1}{2}} + (b^{-\frac{1}{2}})^2 = a^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2a^{\frac{1}{2}}b^{-\frac{1}{2}} + b^{-\frac{1}{2} \cdot 2} = a + 2a^{\frac{1}{2}}b^{-\frac{1}{2}} + b^{-1}$.

Ответ: $a + 2a^{\frac{1}{2}}b^{-\frac{1}{2}} + b^{-1}$.

5) Сначала упростим выражение в скобках, применив формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

$(a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}) = (a^{\frac{1}{4}})^2 - (b^{\frac{1}{4}})^2 = a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}$.

Теперь возведем полученное выражение в квадрат по формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}})^2 - 2 \cdot a^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{2}} + (b^{\frac{1}{2}})^2 = a - 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b$.

Ответ: $a - 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b$.

6) Сначала упростим выражение в скобках, применив формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

В данном случае $a = x^{-\frac{1}{2}}$ и $b = y^{\frac{1}{4}}$.

$(x^{-\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{4}})(x^{-\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{4}}) = (x^{-\frac{1}{2}})^2 - (y^{\frac{1}{4}})^2 = x^{-1} - y^{\frac{2}{4}} = x^{-1} - y^{\frac{1}{2}}$.

Теперь возведем полученное выражение в квадрат по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(x^{-1} - y^{\frac{1}{2}})^2 = (x^{-1})^2 - 2 \cdot x^{-1} \cdot y^{\frac{1}{2}} + (y^{\frac{1}{2}})^2 = x^{-2} - 2x^{-1}y^{\frac{1}{2}} + y$.

Ответ: $x^{-2} - 2x^{-1}y^{\frac{1}{2}} + y$.