Номер 3.28, страница 110, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.28. Вычислите:

1) $5^1 \cdot 5^{-0.25} \cdot 5^4 \cdot 5^{-0.75};$

2) $3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^2 \cdot 3^{-0.25} \cdot 3^{\frac{11}{4}};$

3) $4^{0.7} \cdot 2^{-0.4};$

4) $25^{0.3} \cdot 5^{\frac{14}{10}};$

5) $9^{\frac{4}{4}} \cdot 27^{\frac{2}{3}} \cdot 3^2;$

6) $64^{\frac{1}{6}} \cdot 4^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{8}{3}};$

7) $(81 \cdot 16)^{\frac{1}{4}};$

8) $(81 \cdot 16)^{\frac{1}{4}};$

9) $\left(0.01 \cdot \frac{1}{49}\right)^{\frac{1}{2}};$

10) $\left(\frac{1}{27} \cdot 125^{-1}\right)^{\frac{1}{3}}.$

1) Применяем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и группируем слагаемые в показателе степени:

$5^{\frac{1}{5}} \cdot 5^{-0.25} \cdot 5^{\frac{4}{5}} \cdot 5^{-0.75} = 5^{\frac{1}{5} + \frac{4}{5} - 0.25 - 0.75} = 5^{1 - 1} = 5^0 = 1$.

Ответ: 1

2) Складываем показатели степеней, предварительно приведя дроби к общему знаменателю 24 и представив $-0.25$ как $-\frac{1}{4}$:

$3^{\frac{3}{8}} \cdot 3^{\frac{5}{24}} \cdot 3^{-0.25} \cdot 3^{\frac{11}{12}} = 3^{\frac{3}{8} + \frac{5}{24} - \frac{1}{4} + \frac{11}{12}} = 3^{\frac{9}{24} + \frac{5}{24} - \frac{6}{24} + \frac{22}{24}} = 3^{\frac{9+5-6+22}{24}} = 3^{\frac{30}{24}} = 3^{\frac{5}{4}}$.

Результат можно записать в виде корня: $3^{\frac{5}{4}} = \sqrt[4]{3^5} = \sqrt[4]{81 \cdot 3} = 3\sqrt[4]{3}$.

Ответ: $3^{\frac{5}{4}}$ или $3\sqrt[4]{3}$

3) Представляем основание 4 как степень 2:

$4^{0.7} \cdot 2^{-0.4} = (2^2)^{0.7} \cdot 2^{-0.4} = 2^{2 \cdot 0.7} \cdot 2^{-0.4} = 2^{1.4} \cdot 2^{-0.4} = 2^{1.4 - 0.4} = 2^1 = 2$.

Ответ: 2

4) Представляем 25 как $5^2$ и $\frac{14}{10}$ как 1.4:

$25^{0.3} \cdot 5^{\frac{14}{10}} = (5^2)^{0.3} \cdot 5^{1.4} = 5^{0.6} \cdot 5^{1.4} = 5^{0.6 + 1.4} = 5^2 = 25$.

Ответ: 25

5) Приводим все основания к 3: $9=3^2$, $27=3^3$.

$9^{\frac{4}{3}} \cdot 27^{-\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}} = (3^2)^{\frac{4}{3}} \cdot (3^3)^{-\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}} = 3^{2 \cdot \frac{4}{3}} \cdot 3^{3 \cdot (-\frac{2}{3})} \cdot 3^{\frac{2}{3}} = 3^{\frac{8}{3}} \cdot 3^{-2} \cdot 3^{\frac{2}{3}} = 3^{\frac{8}{3} - 2 + \frac{2}{3}} = 3^{\frac{10}{3} - \frac{6}{3}} = 3^{\frac{4}{3}}$.

Результат можно записать в виде корня: $3^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{3^4} = \sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{27 \cdot 3} = 3\sqrt[3]{3}$.

Ответ: $3^{\frac{4}{3}}$ или $3\sqrt[3]{3}$

6) Приводим все основания к 2: $64=2^6$, $4=2^2$.

$64^{\frac{1}{6}} \cdot 4^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{8}{3}} = (2^6)^{\frac{1}{6}} \cdot (2^2)^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{8}{3}} = 2^1 \cdot 2^{\frac{4}{3}} \cdot 2^{\frac{8}{3}} = 2^{1 + \frac{4}{3} + \frac{8}{3}} = 2^{1 + \frac{12}{3}} = 2^{1+4} = 2^5 = 32$.

Ответ: 32

7) Используем свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$(81 \cdot 16)^{\frac{1}{4}} = 81^{\frac{1}{4}} \cdot 16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{16} = 3 \cdot 2 = 6$.

Ответ: 6

8) Решение аналогично предыдущему пункту, но с отрицательным показателем, который означает обратное число: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$(81 \cdot 16)^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{(81 \cdot 16)^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$

9) Преобразуем выражение в скобках и используем свойство отрицательной степени:

$(0.01 \cdot \frac{1}{49})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{1}{100} \cdot \frac{1}{49})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{1}{4900})^{-\frac{1}{2}} = 4900^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4900} = 70$.

Ответ: 70

10) Преобразуем выражение, учитывая, что $125^{-1} = \frac{1}{125}$:

$(\frac{1}{27} \cdot 125^{-1})^{-\frac{1}{3}} = (\frac{1}{27} \cdot \frac{1}{125})^{-\frac{1}{3}} = (\frac{1}{3^3 \cdot 5^3})^{-\frac{1}{3}} = (\frac{1}{(3 \cdot 5)^3})^{-\frac{1}{3}} = (\frac{1}{15^3})^{-\frac{1}{3}} = (15^{-3})^{-\frac{1}{3}} = 15^{(-3) \cdot (-\frac{1}{3})} = 15^1 = 15$.

Ответ: 15