Вопросы, страница 109, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что вы понимаете под степенью с рациональным показателем?

2. Какие свойства степеней с рациональными показателями вы знаете? Докажите их.

1. Что вы понимаете под степенью с рациональным показателем?

Под степенью числа $\text{a}$ с рациональным показателем $r = \frac{m}{n}$, где $\text{m}$ - целое число ($m \in \mathbb{Z}$), а $\text{n}$ - натуральное число ($n \in \mathbb{N}, n \ge 2$), понимают число $\sqrt[n]{a^m}$.

Таким образом, по определению:

$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$

Это определение вводится для любого положительного основания $a > 0$. Если $a = 0$, то степень $0^r$ определена только для $r > 0$, и в этом случае $0^r = 0$. Ограничение $a > 0$ является важным, так как оно обеспечивает существование корня $\text{n}$-й степени в области действительных чисел при любом натуральном $n \ge 2$. Например, выражение $(-4)^{1/2}$ не определено в действительных числах.

Также полезно помнить, что если $m > 0$, то $\sqrt[n]{a^m}$ можно вычислять как $(\sqrt[n]{a})^m$.

Пример: Вычислим $27^{2/3}$.

По определению, $27^{2/3} = \sqrt[3]{27^2} = \sqrt[3]{729} = 9$.

Можно вычислить и иначе: $27^{2/3} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$.

Ответ: Степенью положительного числа $\text{a}$ с рациональным показателем $r = m/n$ (где $m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}, n \ge 2$) называется число $\sqrt[n]{a^m}$.

2. Какие свойства степеней с рациональными показателями вы знаете? Докажите их.

Для любых положительных чисел $\text{a}$ и $\text{b}$ ($a > 0, b > 0$) и любых рациональных чисел $\text{p}$ и $\text{q}$ справедливы следующие свойства:

1. $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$ (произведение степеней)

2. $a^p : a^q = a^{p-q}$ (частное степеней)

3. $(a^p)^q = a^{pq}$ (возведение степени в степень)

4. $(ab)^p = a^p b^p$ (возведение в степень произведения)

5. $(\frac{a}{b})^p = \frac{a^p}{b^p}$ (возведение в степень частного)

Доказательство свойств:

Доказательство свойства 1: $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$

Пусть $p = \frac{m}{n}$ и $q = \frac{k}{l}$, где $m, k \in \mathbb{Z}$, а $n, l \in \mathbb{N}, n \geq 2, l \geq 2$. Приведем показатели к общему знаменателю $nl$: $p = \frac{ml}{nl}$, $q = \frac{kn}{nl}$.

Преобразуем левую часть равенства, используя определение степени с рациональным показателем, свойство произведения корней с одинаковым показателем $(\sqrt[N]{x} \cdot \sqrt[N]{y} = \sqrt[N]{xy})$ и свойство произведения степеней с целым показателем $(x^M \cdot x^K = x^{M+K})$:

$a^p \cdot a^q = a^{ml/nl} \cdot a^{kn/nl} = \sqrt[nl]{a^{ml}} \cdot \sqrt[nl]{a^{kn}} = \sqrt[nl]{a^{ml} \cdot a^{kn}} = \sqrt[nl]{a^{ml+kn}} = a^{\frac{ml+kn}{nl}} = a^{\frac{ml}{nl} + \frac{kn}{nl}} = a^{p+q}$.

Свойство доказано.

Доказательство свойства 2: $a^p : a^q = a^{p-q}$

Пусть $p = \frac{m}{n}$ и $q = \frac{k}{l}$. Как и в предыдущем доказательстве, приведем показатели к общему знаменателю $nl$.

Преобразуем левую часть, используя определение, свойство частного корней $(\frac{\sqrt[N]{x}}{\sqrt[N]{y}} = \sqrt[N]{\frac{x}{y}})$ и свойство частного степеней с целым показателем $(\frac{x^M}{x^K} = x^{M-K})$:

$a^p : a^q = \frac{a^{ml/nl}}{a^{kn/nl}} = \frac{\sqrt[nl]{a^{ml}}}{\sqrt[nl]{a^{kn}}} = \sqrt[nl]{\frac{a^{ml}}{a^{kn}}} = \sqrt[nl]{a^{ml-kn}} = a^{\frac{ml-kn}{nl}} = a^{\frac{ml}{nl} - \frac{kn}{nl}} = a^{p-q}$.

Свойство доказано.

Доказательство свойства 3: $(a^p)^q = a^{pq}$

Пусть $p = \frac{m}{n}$ и $q = \frac{k}{l}$.

Преобразуем левую часть, используя определение, свойство корня из корня $(\sqrt[L]{\sqrt[N]{x}} = \sqrt[LN]{x})$, свойство возведения корня в степень $((\sqrt[N]{x})^K = \sqrt[N]{x^K})$ и свойство возведения степени в степень для целых показателей $((x^M)^K = x^{MK})$:

$(a^p)^q = (a^{m/n})^{k/l} = \sqrt[l]{(a^{m/n})^k} = \sqrt[l]{(\sqrt[n]{a^m})^k} = \sqrt[l]{\sqrt[n]{(a^m)^k}} = \sqrt[l]{\sqrt[n]{a^{mk}}} = \sqrt[ln]{a^{mk}} = a^{\frac{mk}{ln}} = a^{(\frac{m}{n}) \cdot (\frac{k}{l})} = a^{pq}$.

Свойство доказано.

Доказательство свойства 4: $(ab)^p = a^p b^p$

Пусть $p = \frac{m}{n}$.

Преобразуем левую часть, используя определение, свойство степени произведения для целых показателей $((xy)^M=x^M y^M)$ и свойство корня из произведения $(\sqrt[N]{xy} = \sqrt[N]{x}\sqrt[N]{y})$:

$(ab)^p = (ab)^{m/n} = \sqrt[n]{(ab)^m} = \sqrt[n]{a^m b^m} = \sqrt[n]{a^m} \cdot \sqrt[n]{b^m} = a^{m/n} \cdot b^{m/n} = a^p b^p$.

Свойство доказано.

Доказательство свойства 5: $(\frac{a}{b})^p = \frac{a^p}{b^p}$

Пусть $p = \frac{m}{n}$.

Преобразуем левую часть, используя определение, свойство степени частного для целых показателей $((\frac{x}{y})^M = \frac{x^M}{y^M})$ и свойство корня из частного $(\sqrt[N]{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt[N]{x}}{\sqrt[N]{y}})$:

$(\frac{a}{b})^p = (\frac{a}{b})^{m/n} = \sqrt[n]{(\frac{a}{b})^m} = \sqrt[n]{\frac{a^m}{b^m}} = \frac{\sqrt[n]{a^m}}{\sqrt[n]{b^m}} = \frac{a^{m/n}}{b^{m/n}} = \frac{a^p}{b^p}$.

Свойство доказано.

Ответ: Основные свойства степеней с рациональными показателями (для $a > 0, b > 0$ и рациональных $p, q$):

1) $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$

2) $a^p : a^q = a^{p-q}$

3) $(a^p)^q = a^{pq}$

4) $(ab)^p = a^p b^p$

5) $(\frac{a}{b})^p = \frac{a^p}{b^p}$