Номер 3.19, страница 106, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.19. Упростите выражение:

1) $\sqrt{\frac{(a+1)^3\sqrt[3]{a+1}}{3a}} \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{9+18a^{-1}+9a^{-2}}}}$;

2) $ab \sqrt[n]{a^{1-n}b^{-n} - a^{-n}b^{1-n}} \cdot \sqrt[n]{(a-b)^{-1}}$.

1)

Рассмотрим выражение $ \sqrt{\frac{(a+1)^3 \sqrt[3]{a+1}}{3a}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}}{9+18a^{-1}+9a^{-2}}} $.

Для того чтобы квадратный корень был определён, подкоренное выражение должно быть неотрицательно. Проанализируем знак первого подкоренного выражения $ \frac{(a+1)^3 \sqrt[3]{a+1}}{3a} $. Числитель можно записать как $ (a+1)^{10/3} = (\sqrt[3]{a+1})^{10} $, который всегда неотрицателен. Значит, знак всей дроби зависит от знака знаменателя $ 3a $. Таким образом, должно выполняться условие $ a > 0 $. При этом условии все части исходного выражения определены.

Упростим первый множитель: $ \sqrt{\frac{(a+1)^3 \sqrt[3]{a+1}}{3a}} $. Преобразуем числитель подкоренного выражения: $ (a+1)^3 \sqrt[3]{a+1} = (a+1)^3 \cdot (a+1)^{1/3} = (a+1)^{3 + 1/3} = (a+1)^{10/3} $. Тогда первый множитель равен: $ \sqrt{\frac{(a+1)^{10/3}}{3a}} = \left(\frac{(a+1)^{10/3}}{3a}\right)^{1/2} = \frac{(a+1)^{(10/3) \cdot (1/2)}}{(3a)^{1/2}} = \frac{(a+1)^{5/3}}{3^{1/2}a^{1/2}} $.

Упростим второй множитель: $ \sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}}{9+18a^{-1}+9a^{-2}}} $. Преобразуем знаменатель подкоренного выражения: $ 9+18a^{-1}+9a^{-2} = 9+\frac{18}{a}+\frac{9}{a^2} = \frac{9a^2+18a+9}{a^2} = \frac{9(a^2+2a+1)}{a^2} = \frac{9(a+1)^2}{a^2} $. Подставим это в выражение для второго множителя: $ \sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}}{ \frac{9(a+1)^2}{a^2} }} = \sqrt[3]{\frac{\sqrt{3} \cdot a^2}{9(a+1)^2}} = \left(\frac{3^{1/2} a^2}{3^2 (a+1)^2}\right)^{1/3} $.

Применяя свойства степеней, получаем: $ \frac{(3^{1/2})^{1/3} (a^2)^{1/3}}{(3^2)^{1/3} ((a+1)^2)^{1/3}} = \frac{3^{1/6} a^{2/3}}{3^{2/3} (a+1)^{2/3}} $.

Теперь перемножим упрощенные множители: $ \frac{(a+1)^{5/3}}{3^{1/2}a^{1/2}} \cdot \frac{3^{1/6} a^{2/3}}{3^{2/3} (a+1)^{2/3}} = \frac{(a+1)^{5/3} \cdot 3^{1/6} \cdot a^{2/3}}{3^{1/2} \cdot a^{1/2} \cdot 3^{2/3} \cdot (a+1)^{2/3}} $.

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями: $ \frac{(a+1)^{5/3-2/3} \cdot a^{2/3-1/2}}{3^{1/2+2/3-1/6}} = \frac{(a+1)^{3/3} \cdot a^{4/6-3/6}}{3^{3/6+4/6-1/6}} = \frac{(a+1)^1 \cdot a^{1/6}}{3^{6/6}} = \frac{(a+1)a^{1/6}}{3} $.

Итоговое выражение в виде корня: $ \frac{(a+1)\sqrt[6]{a}}{3} $.

Ответ: $ \frac{(a+1)\sqrt[6]{a}}{3} $.

2)

Рассмотрим выражение $ ab\sqrt[n]{a^{1-n}b^{-n} - a^{-n}b^{1-n}} \cdot \sqrt[n]{(a-b)^{-1}} $.

Для того чтобы выражение было определено в действительных числах при любом $ n \ge 2 $, будем считать, что все переменные положительны и подкоренные выражения также положительны. Это означает, что $ a > b > 0 $.

Сначала упростим выражение внутри первого корня: $ a^{1-n}b^{-n} - a^{-n}b^{1-n} = \frac{a^{1-n}}{b^n} - \frac{b^{1-n}}{a^n} = \frac{a}{a^n b^n} - \frac{b}{a^n b^n} = \frac{a-b}{a^n b^n} $.

Теперь первый сомножитель исходного выражения можно записать как: $ ab\sqrt[n]{\frac{a-b}{a^n b^n}} = ab \cdot \frac{\sqrt[n]{a-b}}{\sqrt[n]{a^n b^n}} $.

Так как мы предположили, что $ a > 0 $ и $ b > 0 $, то $ ab > 0 $, и, следовательно, $ \sqrt[n]{(ab)^n} = ab $. Таким образом, первый сомножитель упрощается до: $ ab \cdot \frac{\sqrt[n]{a-b}}{ab} = \sqrt[n]{a-b} $.

Второй сомножитель: $ \sqrt[n]{(a-b)^{-1}} = \sqrt[n]{\frac{1}{a-b}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a-b}} $.

Наконец, перемножим полученные упрощенные выражения: $ \sqrt[n]{a-b} \cdot \frac{1}{\sqrt[n]{a-b}} = 1 $.

Ответ: 1.