Номер 3.20, страница 107, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.20*. Найдите значение выражения $\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}$.

Обозначим данное выражение через $\text{x}$:

$x = \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}$

Возведем обе части этого равенства в куб, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b)$.

$x^3 = (\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{5\sqrt{2}-7})^3$

Пусть $a = \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}$ и $b = \sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}$. Тогда наше уравнение принимает вид:

$x^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$

Найдем значения $a^3$, $b^3$ и произведения $ab$.

$a^3 = (\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}})^3 = 7+5\sqrt{2}$

$b^3 = (\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7})^3 = 5\sqrt{2}-7$

Теперь найдем их сумму:

$a^3+b^3 = (7+5\sqrt{2}) + (5\sqrt{2}-7) = 7 - 7 + 5\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$

Далее вычислим произведение $ab$:

$ab = \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} \cdot \sqrt[3]{5\sqrt{2}-7} = \sqrt[3]{(7+5\sqrt{2})(5\sqrt{2}-7)}$

Вычислим выражение под корнем, заметив, что оно представляет собой произведение разности и суммы, которое можно посчитать по формуле разности квадратов $(u+v)(u-v)=u^2-v^2$:

$(7+5\sqrt{2})(5\sqrt{2}-7) = (5\sqrt{2}+7)(5\sqrt{2}-7) = (5\sqrt{2})^2 - 7^2 = 25 \cdot 2 - 49 = 50 - 49 = 1$

Таким образом, $ab = \sqrt[3]{1} = 1$.

Теперь подставим найденные значения в формулу для $x^3$. Заметим, что $a+b$ это исходное выражение, то есть $\text{x}$.

$x^3 = (a^3+b^3) + 3ab(a+b)$

$x^3 = 10\sqrt{2} + 3 \cdot 1 \cdot x$

Мы получили кубическое уравнение относительно $\text{x}$:

$x^3 - 3x - 10\sqrt{2} = 0$

Попробуем найти корень этого уравнения подбором. Можно предположить, что корень имеет вид $k\sqrt{2}$ для некоторого рационального $\text{k}$. Подставим это предположение в уравнение:

$(k\sqrt{2})^3 - 3(k\sqrt{2}) - 10\sqrt{2} = 0$

$k^3 \cdot (\sqrt{2})^3 - 3k\sqrt{2} - 10\sqrt{2} = 0$

$k^3 \cdot 2\sqrt{2} - 3k\sqrt{2} - 10\sqrt{2} = 0$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$, так как $\sqrt{2} \neq 0$:

$2k^3 - 3k - 10 = 0$

Теперь найдем целый корень этого уравнения для $\text{k}$. Если он существует, то он является делителем свободного члена (-10). Проверим целые делители: $\pm1, \pm2, \pm5, \pm10$.

При $k=1$: $2(1)^3 - 3(1) - 10 = 2 - 3 - 10 = -11 \neq 0$.

При $k=2$: $2(2)^3 - 3(2) - 10 = 2 \cdot 8 - 6 - 10 = 16 - 6 - 10 = 0$.

Таким образом, $k=2$ является корнем уравнения для $\text{k}$.

Следовательно, $x = k\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ является корнем исходного кубического уравнения для $\text{x}$.

Поскольку $7+5\sqrt{2} > 0$ и $5\sqrt{2}-7 = \sqrt{50}-\sqrt{49} > 0$, оба слагаемых в исходном выражении являются положительными действительными числами. Их сумма $\text{x}$ должна быть единственным положительным действительным числом. Можно показать, что уравнение $x^3 - 3x - 10\sqrt{2} = 0$ имеет только один положительный действительный корень. Значит, найденный нами корень и есть искомое значение выражения.

Ответ: $2\sqrt{2}$