Номер 3.33, страница 112, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.33. Упростите выражение:

1) $(x^{\frac{2}{3}})^{0,6} \cdot x^{\frac{2}{5}};$

2) $(a^{\frac{1}{3}})^{-\frac{1}{2}} \cdot (a^{-\frac{1}{4}})^{\frac{2}{3}};$

3) $(y^{\frac{5}{8}})^{0,4} \cdot y^{0,25};$

4) $(c^{\frac{5}{12}})^{1,2} : (c^{-\frac{1}{3}})^{-1,5};$

5) $a^{\frac{5}{3}} \cdot b^{-\frac{1}{6}} \left( a^{-\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}} \right)^4;$

6) $(c^{-\frac{3}{7}} \cdot y^{-0,4})^3 \cdot c^{\frac{2}{7}} \cdot y^{0,2};$

7) $(a^{\frac{1}{4}} \cdot x^{-\frac{2}{3}})^{\frac{1}{3}} \cdot a^{0,7} \cdot x^{0,8};$

8) $p^{-1} q^{\frac{5}{4}} \left( p^{-\frac{2}{7}} \cdot q^{\frac{1}{14}} \right)^{-3,5};$

1) Для упрощения выражения $(x^{\frac{2}{3}})^{0,6} \cdot x^{\frac{2}{5}}$ воспользуемся свойствами степеней. Сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$: $(x^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{5}} = x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5}} = x^{\frac{6}{15}} = x^{\frac{2}{5}}$.

Теперь выражение имеет вид: $x^{\frac{2}{5}} \cdot x^{\frac{2}{5}}$.

Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $x^{\frac{2}{5}} \cdot x^{\frac{2}{5}} = x^{\frac{2}{5} + \frac{2}{5}} = x^{\frac{4}{5}}$.

Ответ: $x^{\frac{4}{5}}$

2) Упростим выражение $(a^{\frac{1}{8}})^{-\frac{1}{2}} \cdot (a^{-\frac{1}{4}})^{-\frac{2}{3}}$.

Используем свойство $(a^m)^n = a^{mn}$ для обоих множителей:

$(a^{\frac{1}{8}})^{-\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{8} \cdot (-\frac{1}{2})} = a^{-\frac{1}{16}}$.

$(a^{-\frac{1}{4}})^{-\frac{2}{3}} = a^{-\frac{1}{4} \cdot (-\frac{2}{3})} = a^{\frac{2}{12}} = a^{\frac{1}{6}}$.

Теперь перемножим полученные степени, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $a^{-\frac{1}{16}} \cdot a^{\frac{1}{6}} = a^{-\frac{1}{16} + \frac{1}{6}}$.

Приведем дроби в показателе к общему знаменателю 48: $-\frac{1}{16} + \frac{1}{6} = -\frac{3}{48} + \frac{8}{48} = \frac{5}{48}$.

Таким образом, выражение равно $a^{\frac{5}{48}}$.

Ответ: $a^{\frac{5}{48}}$

3) Упростим выражение $(y^{-\frac{5}{8}})^{0,4} \cdot y^{0,25}$.

Преобразуем десятичные дроби в обыкновенные: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ и $0,25 = \frac{1}{4}$.

Выражение принимает вид: $(y^{-\frac{5}{8}})^{\frac{2}{5}} \cdot y^{\frac{1}{4}}$.

Применим свойство $(a^m)^n = a^{mn}$: $(y^{-\frac{5}{8}})^{\frac{2}{5}} = y^{-\frac{5}{8} \cdot \frac{2}{5}} = y^{-\frac{10}{40}} = y^{-\frac{1}{4}}$.

Теперь выражение выглядит так: $y^{-\frac{1}{4}} \cdot y^{\frac{1}{4}}$.

Используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $y^{-\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = y^0 = 1$.

Ответ: 1

4) Упростим выражение $(c^{\frac{5}{12}})^{1,2} : (c^{-\frac{1}{3}})^{-1,5}$.

Преобразуем десятичные дроби: $1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$ и $-1,5 = -\frac{15}{10} = -\frac{3}{2}$.

Упростим делимое: $(c^{\frac{5}{12}})^{\frac{6}{5}} = c^{\frac{5}{12} \cdot \frac{6}{5}} = c^{\frac{30}{60}} = c^{\frac{1}{2}}$.

Упростим делитель: $(c^{-\frac{1}{3}})^{-\frac{3}{2}} = c^{-\frac{1}{3} \cdot (-\frac{3}{2})} = c^{\frac{3}{6}} = c^{\frac{1}{2}}$.

Теперь выполним деление, используя свойство $a^m : a^n = a^{m-n}$: $c^{\frac{1}{2}} : c^{\frac{1}{2}} = c^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} = c^0 = 1$.

Ответ: 1

5) Упростим выражение $a^{\frac{5}{3}} \cdot b^{\frac{1}{6}} \cdot (a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}})^4$.

Раскроем скобки, используя свойство $(ab)^n = a^n b^n$: $(a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}})^4 = (a^{\frac{1}{3}})^4 \cdot (b^{\frac{1}{3}})^4 = a^{\frac{4}{3}} \cdot b^{\frac{4}{3}}$.

Подставим в исходное выражение: $a^{\frac{5}{3}} \cdot b^{\frac{1}{6}} \cdot a^{\frac{4}{3}} \cdot b^{\frac{4}{3}}$.

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями: $(a^{\frac{5}{3}} \cdot a^{\frac{4}{3}}) \cdot (b^{\frac{1}{6}} \cdot b^{\frac{4}{3}})$.

Сложим показатели: Для $\text{a}$: $\frac{5}{3} + \frac{4}{3} = \frac{9}{3} = 3$.

Для $\text{b}$: $\frac{1}{6} + \frac{4}{3} = \frac{1}{6} + \frac{8}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.

Результат: $a^3 \cdot b^{\frac{3}{2}}$.

Ответ: $a^3 b^{\frac{3}{2}}$

6) Упростим выражение $(c^{-\frac{3}{7}} \cdot y^{-0,4})^3 \cdot c^{\frac{2}{7}} \cdot y^{0,2}$.

Преобразуем десятичные дроби: $-0,4 = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}$ и $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Выражение примет вид: $(c^{-\frac{3}{7}} \cdot y^{-\frac{2}{5}})^3 \cdot c^{\frac{2}{7}} \cdot y^{\frac{1}{5}}$.

Раскроем скобки: $(c^{-\frac{3}{7}})^3 \cdot (y^{-\frac{2}{5}})^3 \cdot c^{\frac{2}{7}} \cdot y^{\frac{1}{5}} = c^{-\frac{9}{7}} \cdot y^{-\frac{6}{5}} \cdot c^{\frac{2}{7}} \cdot y^{\frac{1}{5}}$.

Сгруппируем и перемножим степени с одинаковыми основаниями: $(c^{-\frac{9}{7}} \cdot c^{\frac{2}{7}}) \cdot (y^{-\frac{6}{5}} \cdot y^{\frac{1}{5}}) = c^{-\frac{9}{7} + \frac{2}{7}} \cdot y^{-\frac{6}{5} + \frac{1}{5}} = c^{-\frac{7}{7}} \cdot y^{-\frac{5}{5}} = c^{-1} \cdot y^{-1}$.

Ответ: $c^{-1}y^{-1}$

7) Упростим выражение $(a^{\frac{1}{4}} \cdot x^{-\frac{2}{3}})^{\frac{1}{3}} \cdot a^{0,7} \cdot x^{0,8}$.

Преобразуем десятичные дроби: $0,7 = \frac{7}{10}$ и $0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.

Раскроем скобки: $(a^{\frac{1}{4}})^{\frac{1}{3}} \cdot (x^{-\frac{2}{3}})^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{7}{10}} \cdot x^{\frac{4}{5}} = a^{\frac{1}{12}} \cdot x^{-\frac{2}{9}} \cdot a^{\frac{7}{10}} \cdot x^{\frac{4}{5}}$.

Сгруппируем степени: $(a^{\frac{1}{12}} \cdot a^{\frac{7}{10}}) \cdot (x^{-\frac{2}{9}} \cdot x^{\frac{4}{5}})$.

Сложим показатели: Для $\text{a}$: $\frac{1}{12} + \frac{7}{10} = \frac{5}{60} + \frac{42}{60} = \frac{47}{60}$.

Для $\text{x}$: $-\frac{2}{9} + \frac{4}{5} = -\frac{10}{45} + \frac{36}{45} = \frac{26}{45}$.

Результат: $a^{\frac{47}{60}} \cdot x^{\frac{26}{45}}$.

Ответ: $a^{\frac{47}{60}}x^{\frac{26}{45}}$

8) Упростим выражение $p^{-1} q^{\frac{5}{4}} (p^{-\frac{2}{7}} \cdot q^{\frac{1}{14}})^{-3,5}$.

Преобразуем десятичную дробь: $-3,5 = -\frac{35}{10} = -\frac{7}{2}$.

Раскроем скобки: $(p^{-\frac{2}{7}} \cdot q^{\frac{1}{14}})^{-\frac{7}{2}} = (p^{-\frac{2}{7}})^{-\frac{7}{2}} \cdot (q^{\frac{1}{14}})^{-\frac{7}{2}}$.

Упростим каждую часть: $(p^{-\frac{2}{7}})^{-\frac{7}{2}} = p^{(-\frac{2}{7}) \cdot (-\frac{7}{2})} = p^1 = p$.

$(q^{\frac{1}{14}})^{-\frac{7}{2}} = q^{\frac{1}{14} \cdot (-\frac{7}{2})} = q^{-\frac{7}{28}} = q^{-\frac{1}{4}}$.

Подставим обратно в выражение: $p^{-1} \cdot q^{\frac{5}{4}} \cdot p \cdot q^{-\frac{1}{4}}$.

Сгруппируем: $(p^{-1} \cdot p) \cdot (q^{\frac{5}{4}} \cdot q^{-\frac{1}{4}})$.

Сложим показатели: Для $\text{p}$: $-1 + 1 = 0$, так что $p^0=1$.

Для $\text{q}$: $\frac{5}{4} - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1$, так что $q^1=q$.

Результат: $1 \cdot q = q$.

Ответ: $\text{q}$