Номер 3.39, страница 113, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.39. Упростите выражение:

1) $(1+c^{\frac{1}{2}})^2 - 2c^{\frac{1}{2}};$

2) $b^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}} - (b^{\frac{1}{4}} + c^{\frac{1}{4}})^2;$

3) $(x^{\frac{1}{4}}-x^{\frac{1}{8}})^2 + 2x^{\frac{7}{12}};$

4) $(a^{0.2} + x^{0.2})^2 - (a^{0.2} - x^{0.2})^2;$

5) $(x^{\frac{1}{4}}+y^{\frac{1}{4}})(x^{\frac{1}{4}}-y^{\frac{1}{4}})(x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}});$

6) $(b^{\frac{1}{2}}-c^{\frac{1}{2}})(b+b^{\frac{1}{2}}c^{\frac{1}{2}}+c);$

1) Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(1+c^{\frac{1}{2}})^2 - 2c^{\frac{1}{2}} = (1^2 + 2 \cdot 1 \cdot c^{\frac{1}{2}} + (c^{\frac{1}{2}})^2) - 2c^{\frac{1}{2}} = (1 + 2c^{\frac{1}{2}} + c) - 2c^{\frac{1}{2}}$

Приведем подобные слагаемые:

$1 + 2c^{\frac{1}{2}} + c - 2c^{\frac{1}{2}} = 1 + c$

Ответ: $1+c$

2) Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$b^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}} - (b^{\frac{1}{4}} + c^{\frac{1}{4}})^2 = b^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}} - ((b^{\frac{1}{4}})^2 + 2 \cdot b^{\frac{1}{4}} \cdot c^{\frac{1}{4}} + (c^{\frac{1}{4}})^2)$

Упростим выражение в скобках, используя свойство степеней $(x^m)^n = x^{mn}$:

$b^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}} - (b^{\frac{2}{4}} + 2b^{\frac{1}{4}}c^{\frac{1}{4}} + c^{\frac{2}{4}}) = b^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}} - (b^{\frac{1}{2}} + 2b^{\frac{1}{4}}c^{\frac{1}{4}} + c^{\frac{1}{2}})$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$b^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} - 2b^{\frac{1}{4}}c^{\frac{1}{4}} - c^{\frac{1}{2}} = -2b^{\frac{1}{4}}c^{\frac{1}{4}}$

Ответ: $-2b^{\frac{1}{4}}c^{\frac{1}{4}}$

3) Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x^{\frac{1}{4}} - x^{\frac{1}{3}})^2 + 2x^{\frac{7}{12}} = ((x^{\frac{1}{4}})^2 - 2 \cdot x^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{3}} + (x^{\frac{1}{3}})^2) + 2x^{\frac{7}{12}}$

Упростим, используя свойства степеней $(x^m)^n = x^{mn}$ и $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$(x^{\frac{2}{4}} - 2x^{\frac{1}{4}+\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}}) + 2x^{\frac{7}{12}} = (x^{\frac{1}{2}} - 2x^{\frac{3}{12}+\frac{4}{12}} + x^{\frac{2}{3}}) + 2x^{\frac{7}{12}} = (x^{\frac{1}{2}} - 2x^{\frac{7}{12}} + x^{\frac{2}{3}}) + 2x^{\frac{7}{12}}$

Приведем подобные слагаемые:

$x^{\frac{1}{2}} - 2x^{\frac{7}{12}} + x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{7}{12}} = x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{3}}$

Ответ: $x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{3}}$

4) Используем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = a^{0.2} + x^{0.2}$ и $B = a^{0.2} - x^{0.2}$:

$(a^{0.2} + x^{0.2})^2 - (a^{0.2} - x^{0.2})^2 = ((a^{0.2} + x^{0.2}) - (a^{0.2} - x^{0.2})) \cdot ((a^{0.2} + x^{0.2}) + (a^{0.2} - x^{0.2}))$

Упростим выражения в каждой скобке:

$(a^{0.2} + x^{0.2} - a^{0.2} + x^{0.2}) \cdot (a^{0.2} + x^{0.2} + a^{0.2} - x^{0.2}) = (2x^{0.2}) \cdot (2a^{0.2}) = 4a^{0.2}x^{0.2}$

Ответ: $4a^{0.2}x^{0.2}$

5) Сначала применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ к первым двум множителям:

$(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}})(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}}) = (x^{\frac{1}{4}})^2 - (y^{\frac{1}{4}})^2 = x^{\frac{2}{4}} - y^{\frac{2}{4}} = x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}$

Теперь выражение имеет вид:

$(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})$

Снова применим формулу разности квадратов:

$(x^{\frac{1}{2}})^2 - (y^{\frac{1}{2}})^2 = x - y$

Ответ: $x - y$

6) Это выражение соответствует формуле разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$.

Пусть $a = b^{\frac{1}{2}}$ и $b = c^{\frac{1}{2}}$. Тогда $a^2 = (b^{\frac{1}{2}})^2 = b$, $b^2 = (c^{\frac{1}{2}})^2 = c$, и $ab = b^{\frac{1}{2}}c^{\frac{1}{2}}$.

Исходное выражение можно записать как:

$(b^{\frac{1}{2}} - c^{\frac{1}{2}}) \cdot ((b^{\frac{1}{2}})^2 + b^{\frac{1}{2}}c^{\frac{1}{2}} + (c^{\frac{1}{2}})^2)$

Применяя формулу разности кубов, получаем:

$(b^{\frac{1}{2}})^3 - (c^{\frac{1}{2}})^3 = b^{\frac{3}{2}} - c^{\frac{3}{2}}$

Ответ: $b^{\frac{3}{2}} - c^{\frac{3}{2}}$