Номер 3.42, страница 113, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.42. Упростите выражение:

1) $(-\frac{15m^{3.5}}{8n^{\frac{1}{2}}})^3 \cdot (-\frac{4n^{\frac{3}{8}}}{5m^{2.5}})^4;$

2) $(-\frac{10x^{0.4}}{9a^{0.6}})^4 \cdot (-\frac{5x^{\frac{1}{2}}}{27a^{0.8}})^{-3}.$

1) Для упрощения выражения $(-\frac{15m^{3.5}}{8n^{\frac{1}{2}}})^3 \cdot (-\frac{4n^{\frac{3}{8}}}{5m^{2.5}})^4$ выполним следующие действия.

Сначала разберемся со знаками. Первая скобка возводится в нечетную степень 3, поэтому знак минус сохраняется. Вторая скобка возводится в четную степень 4, поэтому знак минус исчезает. Итоговый знак выражения будет отрицательным.

$- \left( (\frac{15m^{3.5}}{8n^{\frac{1}{2}}})^3 \cdot (\frac{4n^{\frac{3}{8}}}{5m^{2.5}})^4 \right)$

Теперь возведем каждую дробь в соответствующую степень, используя свойство $( \frac{a}{b} )^n = \frac{a^n}{b^n}$ и $(x^a)^b = x^{ab}$.

$- \left( \frac{15^3 \cdot (m^{3.5})^3}{8^3 \cdot (n^{\frac{1}{2}})^3} \cdot \frac{4^4 \cdot (n^{\frac{3}{8}})^4}{5^4 \cdot (m^{2.5})^4} \right) = - \left( \frac{15^3 m^{10.5}}{8^3 n^{1.5}} \cdot \frac{4^4 n^{\frac{12}{8}}}{5^4 m^{10}} \right)$

Упростим показатель степени у $\text{n}$: $\frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5$. Теперь сгруппируем числовые коэффициенты и переменные.

$- \left( \frac{15^3 \cdot 4^4}{8^3 \cdot 5^4} \cdot \frac{m^{10.5}}{m^{10}} \cdot \frac{n^{1.5}}{n^{1.5}} \right)$

Упростим числовой коэффициент, разложив числа на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$, $4 = 2^2$, $8 = 2^3$.

$\frac{15^3 \cdot 4^4}{8^3 \cdot 5^4} = \frac{(3 \cdot 5)^3 \cdot (2^2)^4}{(2^3)^3 \cdot 5^4} = \frac{3^3 \cdot 5^3 \cdot 2^8}{2^9 \cdot 5^4} = 3^3 \cdot 5^{3-4} \cdot 2^{8-9} = 27 \cdot 5^{-1} \cdot 2^{-1} = 27 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{27}{10}$

Упростим выражения с переменными, используя свойство $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$.

$\frac{m^{10.5}}{m^{10}} = m^{10.5 - 10} = m^{0.5} = m^{\frac{1}{2}}$

$\frac{n^{1.5}}{n^{1.5}} = n^{1.5 - 1.5} = n^0 = 1$

Собираем все части вместе, не забывая про знак минус в начале.

$-\frac{27}{10}m^{\frac{1}{2}}$

Ответ: $-\frac{27}{10}m^{\frac{1}{2}}$

2) Для упрощения выражения $(-\frac{10x^{0.4}}{9a^{0.6}})^4 \cdot (-\frac{5x^{\frac{1}{2}}}{27a^{0.8}})^{-3}$ выполним следующие действия.

Первая скобка возводится в четную степень 4, поэтому знак минус исчезает. Вторая скобка возводится в отрицательную степень -3, поэтому дробь нужно перевернуть, а степень станет положительной: $( \frac{a}{b} )^{-n} = ( \frac{b}{a} )^n$.

$(\frac{10x^{0.4}}{9a^{0.6}})^4 \cdot (-\frac{27a^{0.8}}{5x^{\frac{1}{2}}})^{3}$

Теперь вторая скобка возводится в нечетную степень 3, поэтому знак минус можно вынести перед всем выражением.

$- \left( (\frac{10x^{0.4}}{9a^{0.6}})^4 \cdot (\frac{27a^{0.8}}{5x^{\frac{1}{2}}})^{3} \right)$

Возведем каждую дробь в соответствующую степень. Заменим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x^{0.5}$ для единообразия.

$- \left( \frac{10^4 (x^{0.4})^4}{9^4 (a^{0.6})^4} \cdot \frac{27^3 (a^{0.8})^3}{5^3 (x^{0.5})^3} \right) = - \left( \frac{10^4 x^{1.6}}{9^4 a^{2.4}} \cdot \frac{27^3 a^{2.4}}{5^3 x^{1.5}} \right)$

Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные.

$- \left( \frac{10^4 \cdot 27^3}{9^4 \cdot 5^3} \cdot \frac{x^{1.6}}{x^{1.5}} \cdot \frac{a^{2.4}}{a^{2.4}} \right)$

Упростим числовой коэффициент, разложив числа на простые множители: $10 = 2 \cdot 5$, $27=3^3$, $9=3^2$.

$\frac{10^4 \cdot 27^3}{9^4 \cdot 5^3} = \frac{(2 \cdot 5)^4 \cdot (3^3)^3}{(3^2)^4 \cdot 5^3} = \frac{2^4 \cdot 5^4 \cdot 3^9}{3^8 \cdot 5^3} = 2^4 \cdot 5^{4-3} \cdot 3^{9-8} = 16 \cdot 5^1 \cdot 3^1 = 16 \cdot 15 = 240$

Упростим выражения с переменными.

$\frac{x^{1.6}}{x^{1.5}} = x^{1.6 - 1.5} = x^{0.1}$

$\frac{a^{2.4}}{a^{2.4}} = a^{2.4 - 2.4} = a^0 = 1$

Собираем все части вместе, не забывая про знак минус.

$-240x^{0.1}$

Ответ: $-240x^{0.1}$