Номер 3.40, страница 113, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.40. Решите уравнение:

1) $x^{\frac{1}{2}} = 5;$

2) $x^{\frac{2}{3}} = 4;$

3) $x^{\frac{3}{2}} = 27;$

4) $x^{-0.8} = 16;$

5) $x^{\frac{4}{5}} \cdot x^{1.8} = 1;$

6) $x^{\frac{5}{8}} \cdot x^{\frac{3}{8}} = -25.$

1) $x^{\frac{1}{2}} = 5$

Данное уравнение эквивалентно уравнению $\sqrt{x} = 5$. Область допустимых значений для $\text{x}$ определяется условием $x \ge 0$.

Чтобы решить уравнение, возведем обе его части в квадрат:

$(x^{\frac{1}{2}})^2 = 5^2$

$x = 25$

Полученный корень $x=25$ удовлетворяет условию $x \ge 0$. Проверка: $25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: $25$.

2) $x^{\frac{2}{3}} = 4$

Поскольку знаменатель показателя степени (3) является нечетным числом, основание $\text{x}$ может быть любым действительным числом.

Возведем обе части уравнения в степень 3:

$(x^{\frac{2}{3}})^3 = 4^3$

$x^2 = 64$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два решения:

$x = \pm\sqrt{64}$

$x_1 = 8$, $x_2 = -8$

Проверка: $8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$. $(-8)^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{-8})^2 = (-2)^2 = 4$. Оба решения верны.

Ответ: $\pm 8$.

3) $x^{\frac{3}{2}} = 27$

Поскольку знаменатель показателя степени (2) является четным числом, выражение $x^{\frac{3}{2}}$ определено только для $x \ge 0$.

Чтобы найти $\text{x}$, возведем обе части уравнения в обратную степень $\frac{2}{3}$:

$(x^{\frac{3}{2}})^{\frac{2}{3}} = 27^{\frac{2}{3}}$

$x = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$

Корень $x=9$ удовлетворяет условию $x \ge 0$. Проверка: $9^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27$.

Ответ: $\text{9}$.

4) $x^{-0.8} = 16$

Преобразуем показатель степени: $-0.8 = -\frac{8}{10} = -\frac{4}{5}$. Уравнение принимает вид $x^{-\frac{4}{5}} = 16$.

Это эквивалентно $\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} = 16$, откуда $x^{\frac{4}{5}} = \frac{1}{16}$.

Так как знаменатель показателя (5) нечетный, $\text{x}$ может быть отрицательным. Представим уравнение как $(\sqrt[5]{x})^4 = \frac{1}{16}$.

Извлечем корень четвертой степени:

$\sqrt[5]{x} = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \pm \frac{1}{2}$

Возведем в пятую степень, чтобы найти $\text{x}$:

Если $\sqrt[5]{x} = \frac{1}{2}$, то $x = (\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32}$.

Если $\sqrt[5]{x} = -\frac{1}{2}$, то $x = (-\frac{1}{2})^5 = -\frac{1}{32}$.

Ответ: $\pm \frac{1}{32}$.

5) $x^{\frac{4}{5}} \cdot x^{1.8} = 1$

Используем свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Для этого приведем показатели к общему виду: $\frac{4}{5} = 0.8$.

$x^{0.8 + 1.8} = 1$

$x^{2.6} = 1$

Уравнение вида $x^a = 1$ при $a \ne 0$ имеет единственное действительное решение $x=1$, так как любое число, кроме 1, в ненулевой степени не равно 1 (например, $(-1)^{2.6} = (-1)^{\frac{13}{5}} = -1 \ne 1$).

Ответ: $\text{1}$.

6) $x^{\frac{5}{8}} \cdot x^{\frac{8}{8}} = -25$

(Примечание: в условии, вероятно, опечатка, и второй множитель должен быть $x^{\frac{3}{8}}$. Будем решать с этим исправлением: $x^{\frac{5}{8}} \cdot x^{\frac{3}{8}} = -25$)

Упростим левую часть, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$x^{\frac{5}{8} + \frac{3}{8}} = x^{\frac{8}{8}} = x^1 = x$

Уравнение сводится к $x = -25$.

Однако, в исходном уравнении присутствуют степени $x^{\frac{5}{8}}$ и $x^{\frac{3}{8}}$. Поскольку знаменатели показателей (8) являются четными, эти выражения определены только для неотрицательных значений $\text{x}$ ($x \ge 0$).

Полученное решение $x = -25$ не входит в область допустимых значений. Следовательно, уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: нет корней.