Номер 3.37, страница 112, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.37. Пусть $x > 0$ и $y > 0$. Выразите $\text{x}$ через $\text{y}$:

1) $y = x^{\frac{2}{3}}$;

2) $y = x^{\frac{4}{7}}$;

3) $y = x^{-\frac{2}{3}}$;

4) $y = x^{-0.75}$;

5) $y = 5x^{\frac{4}{5}}$;

6) $y = \frac{1}{6}x^{-\frac{2}{3}}$.

1) Дано уравнение $y = x^{\frac{2}{3}}$. Чтобы выразить $\text{x}$ через $\text{y}$, необходимо возвести обе части уравнения в степень, обратную показателю степени $\text{x}$. Обратная степень для $\frac{2}{3}$ это $\frac{3}{2}$.

Возводим обе части в степень $\frac{3}{2}$:

$y^{\frac{3}{2}} = (x^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}$

Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:

$y^{\frac{3}{2}} = x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}}$

$y^{\frac{3}{2}} = x^1$

Таким образом, $x = y^{\frac{3}{2}}$.

Ответ: $x = y^{\frac{3}{2}}$

2) Дано уравнение $y = x^{\frac{4}{7}}$. Возведем обе части в степень, обратную $\frac{4}{7}$, то есть в степень $\frac{7}{4}$.

$y^{\frac{7}{4}} = (x^{\frac{4}{7}})^{\frac{7}{4}}$

$y^{\frac{7}{4}} = x^{\frac{4}{7} \cdot \frac{7}{4}}$

$y^{\frac{7}{4}} = x$

Таким образом, $x = y^{\frac{7}{4}}$.

Ответ: $x = y^{\frac{7}{4}}$

3) Дано уравнение $y = x^{-\frac{8}{3}}$. Возведем обе части в степень, обратную $-\frac{8}{3}$, то есть в степень $-\frac{3}{8}$.

$y^{-\frac{3}{8}} = (x^{-\frac{8}{3}})^{-\frac{3}{8}}$

$y^{-\frac{3}{8}} = x^{(-\frac{8}{3}) \cdot (-\frac{3}{8})}$

$y^{-\frac{3}{8}} = x$

Таким образом, $x = y^{-\frac{3}{8}}$.

Ответ: $x = y^{-\frac{3}{8}}$

4) Дано уравнение $y = x^{-0.75}$. Сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $-0.75 = -\frac{75}{100} = -\frac{3}{4}$. Уравнение принимает вид $y = x^{-\frac{3}{4}}$.

Возведем обе части в степень, обратную $-\frac{3}{4}$, то есть в степень $-\frac{4}{3}$.

$y^{-\frac{4}{3}} = (x^{-\frac{3}{4}})^{-\frac{4}{3}}$

$y^{-\frac{4}{3}} = x^{(-\frac{3}{4}) \cdot (-\frac{4}{3})}$

$y^{-\frac{4}{3}} = x$

Таким образом, $x = y^{-\frac{4}{3}}$.

Ответ: $x = y^{-\frac{4}{3}}$

5) Дано уравнение $y = 5x^{\frac{4}{5}}$. Сначала разделим обе части на 5, чтобы изолировать степенное выражение с $\text{x}$.

$\frac{y}{5} = x^{\frac{4}{5}}$

Теперь возведем обе части в степень, обратную $\frac{4}{5}$, то есть в степень $\frac{5}{4}$.

$(\frac{y}{5})^{\frac{5}{4}} = (x^{\frac{4}{5}})^{\frac{5}{4}}$

$(\frac{y}{5})^{\frac{5}{4}} = x$

Таким образом, $x = (\frac{y}{5})^{\frac{5}{4}}$.

Ответ: $x = (\frac{y}{5})^{\frac{5}{4}}$

6) Дано уравнение $y = \frac{1}{6}x^{-\frac{2}{3}}$. Сначала умножим обе части на 6.

$6y = x^{-\frac{2}{3}}$

Теперь возведем обе части в степень, обратную $-\frac{2}{3}$, то есть в степень $-\frac{3}{2}$.

$(6y)^{-\frac{3}{2}} = (x^{-\frac{2}{3}})^{-\frac{3}{2}}$

$(6y)^{-\frac{3}{2}} = x^{(-\frac{2}{3}) \cdot (-\frac{3}{2})}$

$(6y)^{-\frac{3}{2}} = x$

Таким образом, $x = (6y)^{-\frac{3}{2}}$.

Ответ: $x = (6y)^{-\frac{3}{2}}$