Номер 3.48, страница 114, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.48*. Найдите значения следующих выражений, не пользуясь таблицей:

1) $\cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7}$;

2) $8\cos10^\circ \cos30^\circ \cos50^\circ \cos70^\circ$.

1) $ \cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7} $

Пусть искомое выражение равно $\text{P}$.

$ P = \cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7} $

Умножим и разделим это выражение на $ 2\sin\frac{\pi}{7} $ (это значение не равно нулю).

$ P = \frac{2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}}{2\sin\frac{\pi}{7}} $

Применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $. Для числителя получаем:

$ 2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7} = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{7}\right) = \sin\frac{2\pi}{7} $

Подставим это в выражение для $\text{P}$:

$ P = \frac{\sin\frac{2\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}}{2\sin\frac{\pi}{7}} $

Снова применим тот же прием, умножив числитель и знаменатель на 2:

$ P = \frac{2\sin\frac{2\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}}{2 \cdot 2\sin\frac{\pi}{7}} = \frac{\sin\left(2 \cdot \frac{2\pi}{7}\right)\cos\frac{4\pi}{7}}{4\sin\frac{\pi}{7}} = \frac{\sin\frac{4\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}}{4\sin\frac{\pi}{7}} $

Повторим операцию еще раз:

$ P = \frac{2\sin\frac{4\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}}{2 \cdot 4\sin\frac{\pi}{7}} = \frac{\sin\left(2 \cdot \frac{4\pi}{7}\right)}{8\sin\frac{\pi}{7}} = \frac{\sin\frac{8\pi}{7}}{8\sin\frac{\pi}{7}} $

Теперь упростим числитель. Используем формулу приведения $ \sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha $.

$ \sin\frac{8\pi}{7} = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{7}\right) = -\sin\frac{\pi}{7} $

Подставим результат обратно в выражение для $\text{P}$:

$ P = \frac{-\sin\frac{\pi}{7}}{8\sin\frac{\pi}{7}} $

Поскольку $ \sin\frac{\pi}{7} \neq 0 $, мы можем сократить дробь:

$ P = -\frac{1}{8} $

Ответ: $ -\frac{1}{8} $.

2) $ 8\cos10o \cos30o \cos50o \cos70o $

В выражении присутствует $ \cos30o $, значение которого известно: $ \cos30o = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

$ 8\cos10o \cos30o \cos50o \cos70o = 8\cos10o \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos50o \cos70o = 4\sqrt{3}\cos10o \cos50o \cos70o $

Сгруппируем $ \cos50o $ и $ \cos70o $ и используем формулу произведения косинусов $ \cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)) $. В нашем случае удобнее считать разность углов как $70o -50o $, поэтому запишем формулу как $ \cos\beta\cos\alpha = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)) $:

$ \cos50o \cos70o = \frac{1}{2}(\cos(70o -50o ) + \cos(70o +50o )) = \frac{1}{2}(\cos20o + \cos120o ) $

Значение $ \cos120o = \cos(180o -60o ) = -\cos60o = -\frac{1}{2} $.

$ \cos50o \cos70o = \frac{1}{2}\left(\cos20o - \frac{1}{2}\right) $

Подставим это в основное выражение:

$ 4\sqrt{3}\cos10o \cdot \frac{1}{2}\left(\cos20o - \frac{1}{2}\right) = 2\sqrt{3}\cos10o \left(\cos20o - \frac{1}{2}\right) $

Раскроем скобки:

$ 2\sqrt{3}\left(\cos10o \cos20o - \frac{1}{2}\cos10o \right) $

Снова применим формулу произведения косинусов для $ \cos10o \cos20o $:

$ \cos10o \cos20o = \frac{1}{2}(\cos(20o -10o ) + \cos(20o +10o )) = \frac{1}{2}(\cos10o + \cos30o ) $

Подставим это в последнее выражение:

$ 2\sqrt{3}\left(\frac{1}{2}(\cos10o + \cos30o ) - \frac{1}{2}\cos10o \right) $

Вынесем общий множитель $ \frac{1}{2} $ за скобки:

$ 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} (\cos10o + \cos30o - \cos10o ) = \sqrt{3}(\cos30o ) $

Осталось подставить значение $ \cos30o = \frac{\sqrt{3}}{2} $:

$ \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} $

Ответ: $ \frac{3}{2} $.