Номер 3.52, страница 117, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.52. Преобразуйте данное выражение так, чтобы его знаменатель не содержал корней:

1) $ \frac{1}{\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}} $

2) $ \frac{7}{\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{2}} $

3) $ \frac{5}{2 - \sqrt[3]{3}} $

4) $ \frac{29}{3 + \sqrt[3]{2}} $

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{1}{\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}} $, нужно умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. В данном случае, когда в знаменателе разность кубических корней, используется формула разности кубов: $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $.

Пусть $ a = \sqrt[3]{3} $ и $ b = \sqrt[3]{2} $. Тогда знаменатель — это $ a-b $. Чтобы получить разность кубов $ a^3-b^3 = 3-2=1 $, нужно домножить знаменатель на неполный квадрат суммы $ a^2+ab+b^2 = (\sqrt[3]{3})^2 + \sqrt[3]{3}\sqrt[3]{2} + (\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4} $.

Выполним умножение:

$ \frac{1}{\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}} = \frac{1 \cdot (\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4})}{(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4})} = \frac{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}}{(\sqrt[3]{3})^3 - (\sqrt[3]{2})^3} = \frac{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}}{3 - 2} = \frac{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}}{1} = \sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4} $.

Ответ: $ \sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4} $

2) Для преобразования выражения $ \frac{7}{\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{2}} $ воспользуемся формулой суммы кубов: $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $. Здесь $ a = \sqrt[3]{5} $ и $ b = \sqrt[3]{2} $.

Знаменатель имеет вид $ a+b $. Чтобы получить сумму кубов $ a^3+b^3 = 5+2=7 $, нужно домножить знаменатель на неполный квадрат разности $ a^2-ab+b^2 = (\sqrt[3]{5})^2 - \sqrt[3]{5}\sqrt[3]{2} + (\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4} $.

Умножим числитель и знаменатель на это выражение:

$ \frac{7}{\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{2}} = \frac{7 \cdot (\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4})}{(\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4})} = \frac{7(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4})}{(\sqrt[3]{5})^3 + (\sqrt[3]{2})^3} = \frac{7(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4})}{5 + 2} = \frac{7(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4})}{7} = \sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4} $.

Ответ: $ \sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4} $

3) В выражении $ \frac{5}{2 - \sqrt[3]{3}} $ знаменатель имеет вид $ a - b $, где $ a = 2 $ и $ b = \sqrt[3]{3} $. Применим формулу разности кубов $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $.

Домножим числитель и знаменатель на выражение $ a^2+ab+b^2 = 2^2 + 2\sqrt[3]{3} + (\sqrt[3]{3})^2 = 4 + 2\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9} $.

В знаменателе получим $ a^3-b^3 = 2^3 - (\sqrt[3]{3})^3 = 8 - 3 = 5 $.

$ \frac{5}{2 - \sqrt[3]{3}} = \frac{5 \cdot (4 + 2\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9})}{(2 - \sqrt[3]{3})(4 + 2\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9})} = \frac{5(4 + 2\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9})}{2^3 - (\sqrt[3]{3})^3} = \frac{5(4 + 2\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9})}{8 - 3} = \frac{5(4 + 2\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9})}{5} = 4 + 2\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9} $.

Ответ: $ 4 + 2\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9} $

4) В выражении $ \frac{29}{3 + \sqrt[3]{2}} $ знаменатель имеет вид $ a + b $, где $ a = 3 $ и $ b = \sqrt[3]{2} $. Применим формулу суммы кубов $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $.

Домножим числитель и знаменатель на выражение $ a^2-ab+b^2 = 3^2 - 3\sqrt[3]{2} + (\sqrt[3]{2})^2 = 9 - 3\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4} $.

В знаменателе получим $ a^3+b^3 = 3^3 + (\sqrt[3]{2})^3 = 27 + 2 = 29 $.

$ \frac{29}{3 + \sqrt[3]{2}} = \frac{29 \cdot (9 - 3\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4})}{(3 + \sqrt[3]{2})(9 - 3\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4})} = \frac{29(9 - 3\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4})}{3^3 + (\sqrt[3]{2})^3} = \frac{29(9 - 3\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4})}{27 + 2} = \frac{29(9 - 3\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4})}{29} = 9 - 3\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4} $.

Ответ: $ 9 - 3\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4} $