Номер 3.54, страница 117, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.54. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:

1) $\frac{1}{3+\sqrt{2}}$;

2) $\frac{1}{\sqrt[4]{3}+\sqrt{2}}$;

3) $\frac{2}{\sqrt{3}-\sqrt[3]{3}}$;

4) $\frac{3}{\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}}$;

5) $\frac{2}{\sqrt[5]{5}+\sqrt[5]{3}}$;

6) $\frac{2}{\sqrt[4]{2}+\sqrt[4]{4}+\sqrt[4]{8}+2}$.

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{1}{3+\sqrt[4]{2}} $, нужно последовательно домножить числитель и знаменатель на сопряженные выражения, чтобы в итоге получить в знаменателе разность четвертых степеней. Используем формулу $ a^4 - b^4 = (a+b)(a-b)(a^2+b^2) $.

Пусть $ a = 3 $ и $ b = \sqrt[4]{2} $. Знаменатель равен $ a+b $. Домножим числитель и знаменатель на $ (a-b)(a^2+b^2) = (3-\sqrt[4]{2})(3^2 + (\sqrt[4]{2})^2) = (3-\sqrt[4]{2})(9+\sqrt{2}) $.

$ \frac{1}{3+\sqrt[4]{2}} = \frac{1 \cdot (3-\sqrt[4]{2})(9+\sqrt{2})}{(3+\sqrt[4]{2})(3-\sqrt[4]{2})(9+\sqrt{2})} = \frac{(3-\sqrt[4]{2})(9+\sqrt{2})}{(3^2 - (\sqrt[4]{2})^2)(9+\sqrt{2})} = \frac{(3-\sqrt[4]{2})(9+\sqrt{2})}{(9-\sqrt{2})(9+\sqrt{2})} $

Знаменатель теперь равен $ 9^2 - (\sqrt{2})^2 = 81 - 2 = 79 $.

Вычислим числитель:

$ (3-\sqrt[4]{2})(9+\sqrt{2}) = 3 \cdot 9 + 3\sqrt{2} - 9\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{2}\sqrt{2} = 27 + 3\sqrt{2} - 9\sqrt[4]{2} - 2^{1/4} \cdot 2^{1/2} = 27 + 3\sqrt{2} - 9\sqrt[4]{2} - 2^{3/4} = 27 + 3\sqrt{2} - 9\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{8} $.

Таким образом, получаем:

$ \frac{27 + 3\sqrt{2} - 9\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{8}}{79} $

Ответ: $ \frac{27 + 3\sqrt{2} - 9\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{8}}{79} $.

2) В знаменателе дроби $ \frac{1}{\sqrt[4]{3}+\sqrt{2}} $ находятся корни четвертой и второй степени. Наименьшее общее кратное показателей корней равно 4. Используем формулу $ a^4 - b^4 = (a+b)(a-b)(a^2+b^2) $.

Пусть $ a = \sqrt[4]{3} $ и $ b = \sqrt{2} $. Знаменатель равен $ a+b $. Домножим числитель и знаменатель на $ (a-b)(a^2+b^2) = (\sqrt[4]{3}-\sqrt{2})((\sqrt[4]{3})^2 + (\sqrt{2})^2) = (\sqrt[4]{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+2) $.

$ \frac{1}{\sqrt[4]{3}+\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (\sqrt[4]{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt[4]{3}+\sqrt{2})(\sqrt[4]{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+2)} = \frac{(\sqrt[4]{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+2)}{((\sqrt[4]{3})^2 - (\sqrt{2})^2)(\sqrt{3}+2)} = \frac{(\sqrt[4]{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)} $

Знаменатель теперь равен $ (\sqrt{3})^2 - 2^2 = 3-4 = -1 $.

Вычислим числитель:

$ (\sqrt[4]{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+2) = \sqrt[4]{3}\sqrt{3} + 2\sqrt[4]{3} - \sqrt{2}\sqrt{3} - 2\sqrt{2} = 3^{1/4} \cdot 3^{1/2} + 2\sqrt[4]{3} - \sqrt{6} - 2\sqrt{2} = 3^{3/4} + 2\sqrt[4]{3} - \sqrt{6} - 2\sqrt{2} = \sqrt[4]{27} + 2\sqrt[4]{3} - \sqrt{6} - 2\sqrt{2} $.

Разделим числитель на знаменатель (-1):

$ \frac{\sqrt[4]{27} + 2\sqrt[4]{3} - \sqrt{6} - 2\sqrt{2}}{-1} = -(\sqrt[4]{27} + 2\sqrt[4]{3} - \sqrt{6} - 2\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} + \sqrt{6} - 2\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{27} $.

Ответ: $ 2\sqrt{2} + \sqrt{6} - 2\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{27} $.

3) В знаменателе дроби $ \frac{2}{\sqrt{3}-\sqrt[3]{3}} $ находятся корни второй и третьей степени. Наименьшее общее кратное показателей корней равно 6. Используем формулу разности шестых степеней $ a^6 - b^6 = (a-b)(a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5) $.

Пусть $ a=\sqrt{3} $ и $ b=\sqrt[3]{3} $. Тогда знаменатель $ \sqrt{3}-\sqrt[3]{3} $ после умножения на множитель $ M = a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5 $ станет $ a^6-b^6 = (\sqrt{3})^6 - (\sqrt[3]{3})^6 = 3^3-3^2 = 27-9=18 $.

Найдем слагаемые множителя $ M $:

$ a^5 = (\sqrt{3})^5 = 9\sqrt{3} $

$ a^4b = (\sqrt{3})^4(\sqrt[3]{3}) = 9\sqrt[3]{3} $

$ a^3b^2 = (\sqrt{3})^3(\sqrt[3]{3})^2 = 3\sqrt{3}\sqrt[3]{9} = 3 \cdot 3^{1/2} \cdot 3^{2/3} = 3^{13/6} = 9\sqrt[6]{3} $

$ a^2b^3 = (\sqrt{3})^2(\sqrt[3]{3})^3 = 3 \cdot 3 = 9 $

$ ab^4 = (\sqrt{3})(\sqrt[3]{3})^4 = \sqrt{3} \cdot 3\sqrt[3]{3} = 3 \cdot 3^{1/2} \cdot 3^{1/3} = 3^{11/6} = 3\sqrt[6]{3^5} = 3\sqrt[6]{243} $

$ b^5 = (\sqrt[3]{3})^5 = 3\sqrt[3]{9} $

Таким образом, множитель $ M = 9\sqrt{3} + 9\sqrt[3]{3} + 9\sqrt[6]{3} + 9 + 3\sqrt[6]{243} + 3\sqrt[3]{9} $.

Домножим числитель и знаменатель на $ M $:

$ \frac{2 \cdot M}{18} = \frac{M}{9} = \frac{9\sqrt{3} + 9\sqrt[3]{3} + 9\sqrt[6]{3} + 9 + 3\sqrt[6]{243} + 3\sqrt[3]{9}}{9} = \sqrt{3} + \sqrt[3]{3} + \sqrt[6]{3} + 1 + \frac{\sqrt[6]{243}}{3} + \frac{\sqrt[3]{9}}{3} $.

Ответ: $ 1 + \sqrt{3} + \sqrt[3]{3} + \sqrt[6]{3} + \frac{\sqrt[3]{9}}{3} + \frac{\sqrt[6]{243}}{3} $.

4) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{3}{\sqrt[3]{3}+\sqrt{2}} $, применим двухэтапный подход. Сначала избавимся от кубического корня, используя формулу суммы кубов $ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) $.

Пусть $ a=\sqrt[3]{3} $ и $ b=\sqrt{2} $. Домножим числитель и знаменатель на $ a^2-ab+b^2 = (\sqrt[3]{3})^2 - \sqrt[3]{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = \sqrt[3]{9}-\sqrt[6]{72}+2 $.

$ \frac{3}{\sqrt[3]{3}+\sqrt{2}} = \frac{3(\sqrt[3]{9}-\sqrt[6]{72}+2)}{(\sqrt[3]{3}+\sqrt{2})(\sqrt[3]{9}-\sqrt[6]{72}+2)} = \frac{3(\sqrt[3]{9}-\sqrt[6]{72}+2)}{(\sqrt[3]{3})^3+(\sqrt{2})^3} = \frac{3(\sqrt[3]{9}-\sqrt[6]{72}+2)}{3+2\sqrt{2}} $.

Теперь в знаменателе $ 3+2\sqrt{2} $. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное ему выражение $ 3-2\sqrt{2} $.

$ \frac{3(\sqrt[3]{9}-\sqrt[6]{72}+2)(3-2\sqrt{2})}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})} = \frac{3(\sqrt[3]{9}-\sqrt[6]{72}+2)(3-2\sqrt{2})}{3^2-(2\sqrt{2})^2} = \frac{3(\sqrt[3]{9}-\sqrt[6]{72}+2)(3-2\sqrt{2})}{9-8} = 3(\sqrt[3]{9}-\sqrt[6]{72}+2)(3-2\sqrt{2}) $.

Ответ: $ 3(\sqrt[3]{9}-\sqrt[6]{72}+2)(3-2\sqrt{2}) $.

5) В знаменателе дроби $ \frac{2}{\sqrt[8]{5}+\sqrt[8]{3}} $ находятся корни восьмой степени. Используем формулу $ a^8-b^8 = (a+b)(a-b)(a^2+b^2)(a^4+b^4) $.

Пусть $ a=\sqrt[8]{5} $ и $ b=\sqrt[8]{3} $. Знаменатель равен $ a+b $. Чтобы получить в знаменателе $ a^8-b^8 = 5-3=2 $, нужно домножить числитель и знаменатель на $ M = (a-b)(a^2+b^2)(a^4+b^4) $.

Распишем множитель $ M $:

$ M = (\sqrt[8]{5}-\sqrt[8]{3})((\sqrt[8]{5})^2+(\sqrt[8]{3})^2)((\sqrt[8]{5})^4+(\sqrt[8]{3})^4) = (\sqrt[8]{5}-\sqrt[8]{3})(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3}) $.

Выполним умножение:

$ \frac{2}{\sqrt[8]{5}+\sqrt[8]{3}} = \frac{2 \cdot M}{(\sqrt[8]{5}+\sqrt[8]{3}) \cdot M} = \frac{2 \cdot (\sqrt[8]{5}-\sqrt[8]{3})(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt[8]{5})^8 - (\sqrt[8]{3})^8} = \frac{2 \cdot (\sqrt[8]{5}-\sqrt[8]{3})(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3} $.

$ = \frac{2 \cdot (\sqrt[8]{5}-\sqrt[8]{3})(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2} = (\sqrt[8]{5}-\sqrt[8]{3})(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3}) $.

Ответ: $ (\sqrt[8]{5}-\sqrt[8]{3})(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3}) $.

6) Рассмотрим знаменатель дроби $ \frac{2}{\sqrt[4]{2}+\sqrt[4]{4}+\sqrt[4]{8}+2} $. Обозначим его $ D $.

Преобразуем слагаемые в знаменателе: $ \sqrt[4]{4}=\sqrt{2} $, $ \sqrt[4]{8}=\sqrt[4]{2^3} $.

$ D = \sqrt[4]{2}+\sqrt{2}+\sqrt[4]{8}+2 $.

Заметим, что это выражение можно получить при избавлении от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{2}-1} $. Проверим это:

$ \frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{2}-1} = \frac{\sqrt[4]{2}(\sqrt[4]{2}+1)}{(\sqrt[4]{2}-1)(\sqrt[4]{2}+1)} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt[4]{2}}{\sqrt{2}-1} = \frac{(\sqrt{2}+\sqrt[4]{2})(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{2+\sqrt{2}+\sqrt[4]{8}+\sqrt[4]{2}}{2-1} = 2+\sqrt{2}+\sqrt[4]{8}+\sqrt[4]{2} $.

Действительно, $ D = \frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{2}-1} $.

Тогда исходное выражение можно переписать:

$ \frac{2}{D} = \frac{2}{\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{2}-1}} = \frac{2(\sqrt[4]{2}-1)}{\sqrt[4]{2}} $.

Теперь избавимся от иррациональности в знаменателе полученной дроби. Домножим числитель и знаменатель на $ (\sqrt[4]{2})^3 = \sqrt[4]{8} $.

$ \frac{2(\sqrt[4]{2}-1) \cdot \sqrt[4]{8}}{\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8}} = \frac{2(\sqrt[4]{16}-\sqrt[4]{8})}{\sqrt[4]{16}} = \frac{2(2-\sqrt[4]{8})}{2} = 2-\sqrt[4]{8} $.

Ответ: $ 2-\sqrt[4]{8} $.