Номер 3.56, страница 118, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.56. Докажите тождество $\sqrt[3]{2+\sqrt{5}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}} = 1$.

Для доказательства тождества введем переменную $\text{x}$, равную левой части равенства:

$x = \sqrt[3]{2+\sqrt{5}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$

Возведем обе части данного равенства в куб, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$. Пусть $a = \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}$ и $b = \sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$. Тогда $a+b=x$.

$x^3 = (\sqrt[3]{2+\sqrt{5}})^3 + (\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})^3 + 3 \cdot \sqrt[3]{2+\sqrt{5}} \cdot \sqrt[3]{2-\sqrt{5}} \cdot (\sqrt[3]{2+\sqrt{5}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}})$

Упростим полученное выражение. Сначала вычислим сумму кубов:

$a^3+b^3 = (2+\sqrt{5}) + (2-\sqrt{5}) = 4$.

Далее вычислим произведение $ab$:

$ab = \sqrt[3]{2+\sqrt{5}} \cdot \sqrt[3]{2-\sqrt{5}} = \sqrt[3]{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})}$.

Применяя формулу разности квадратов $(c-d)(c+d) = c^2 - d^2$, получаем:

$ab = \sqrt[3]{2^2 - (\sqrt{5})^2} = \sqrt[3]{4-5} = \sqrt[3]{-1} = -1$.

Теперь подставим вычисленные значения в уравнение для $x^3$:

$x^3 = (a^3+b^3) + 3ab(a+b)$

$x^3 = 4 + 3(-1)x$

$x^3 = 4 - 3x$

Мы получили кубическое уравнение относительно $\text{x}$:

$x^3 + 3x - 4 = 0$.

Найдем его корни. Попробуем найти целый корень среди делителей свободного члена (-4), то есть среди чисел $\pm1, \pm2, \pm4$. Проверим $x=1$:

$1^3 + 3(1) - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$.

Равенство верное, значит $x=1$ является корнем уравнения. Чтобы найти остальные корни, разделим многочлен $(x^3 + 3x - 4)$ на двучлен $(x-1)$:

$(x^3 + 3x - 4) : (x-1) = x^2 + x + 4$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(x-1)(x^2 + x + 4) = 0$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда имеем два случая:

1) $x-1=0 \implies x=1$.

2) $x^2+x+4=0$. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15$. Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$), это уравнение не имеет действительных корней.

Исходное выражение $x = \sqrt[3]{2+\sqrt{5}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$ является действительным числом, поскольку является суммой действительных кубических корней. Следовательно, значение $\text{x}$ должно быть равно единственному действительному корню уравнения $x^3 + 3x - 4 = 0$, то есть $x=1$.

Таким образом, доказано, что $\sqrt[3]{2+\sqrt{5}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}} = 1$.

Ответ: тождество доказано.