Вопросы, страница 121, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Сформулируйте свойства $1^{\circ} - 3^{\circ}$ степенной функции и докажите их.

2. Почему в общем случае в качестве области определения степенной функции принимают множество $(0; +\infty)$?

3. Определена ли в точке $x=0$ степенная функция, если ее показатель:

а) положителен;

б) отрицателен?Обоснуйте ответ.

4. Почему степенная функция при $\alpha = \frac{m}{2n-1}$, $(n \in N, m \in Z)$ определена для отрицательных значений аргумента?

1. Степенной функцией называется функция вида $y = x^{\alpha}$, где $\alpha$ - заданное действительное число. В общем случае область определения этой функции $x > 0$. Основные свойства степенной функции для $x > 0$ и произвольных действительных $\alpha$ и $\beta$ формулируются и доказываются с использованием определения $x^{\alpha} = e^{\alpha \ln x}$.

Свойство 1o . Произведение степеней с одинаковым основанием: $x^{\alpha} \cdot x^{\beta} = x^{\alpha + \beta}$.

Доказательство: Используя определение степенной функции и свойство экспоненты $e^a \cdot e^b = e^{a+b}$, получаем:

$x^{\alpha} \cdot x^{\beta} = e^{\alpha \ln x} \cdot e^{\beta \ln x} = e^{\alpha \ln x + \beta \ln x} = e^{(\alpha + \beta)\ln x} = x^{\alpha + \beta}$.

Свойство 2o . Частное степеней с одинаковым основанием: $\frac{x^{\alpha}}{x^{\beta}} = x^{\alpha - \beta}$.

Доказательство: Используя определение степенной функции и свойство экспоненты $\frac{e^a}{e^b} = e^{a-b}$, получаем:

$\frac{x^{\alpha}}{x^{\beta}} = \frac{e^{\alpha \ln x}}{e^{\beta \ln x}} = e^{\alpha \ln x - \beta \ln x} = e^{(\alpha - \beta)\ln x} = x^{\alpha - \beta}$.

Свойство 3o . Возведение степени в степень: $(x^{\alpha})^{\beta} = x^{\alpha \beta}$.

Доказательство: Используя определение степенной функции и свойства логарифма и экспоненты ($\ln(e^z) = z$), получаем:

$(x^{\alpha})^{\beta} = e^{\beta \ln(x^{\alpha})} = e^{\beta \ln(e^{\alpha \ln x})} = e^{\beta(\alpha \ln x)} = e^{(\alpha\beta)\ln x} = x^{\alpha\beta}$.

Ответ: Свойства степенной функции для $x>0$: 1o $x^{\alpha} \cdot x^{\beta} = x^{\alpha + \beta}$; 2o $\frac{x^{\alpha}}{x^{\beta}} = x^{\alpha - \beta}$; 3o $(x^{\alpha})^{\beta} = x^{\alpha \beta}$. Доказательства основаны на определении $x^{\alpha} = e^{\alpha \ln x}$ и свойствах показательной функции.

2. В общем случае в качестве области определения степенной функции $y = x^{\alpha}$ принимают множество $(0; +\infty)$, чтобы функция была определена для любого действительного показателя $\alpha$. Рассмотрим различные типы показателей:

• Если $\alpha$ - натуральное число (например, $y=x^2$), функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$.
• Если $\alpha$ - целое отрицательное число (например, $y=x^{-1}=\frac{1}{x}$), функция определена для всех $x \neq 0$.
• Если $\alpha$ - рациональное число, $\alpha = \frac{m}{n}$ (например, $y=x^{1/2}=\sqrt{x}$), область определения зависит от четности знаменателя $\text{n}$. Если $\text{n}$ - четное, то функция определена только для $x \ge 0$. Если $\text{n}$ - нечетное, функция может быть определена и для отрицательных $\text{x}$.
• Если $\alpha$ - иррациональное число (например, $y=x^{\pi}$), выражение $x^\alpha$ для $x < 0$ не имеет смысла в действительных числах (например, $(-2)^{\pi}$ не определено). В этом случае функцию определяют через показательную и логарифмическую функции: $x^{\alpha} = e^{\alpha \ln x}$. Так как логарифм $\ln x$ определен только для $x > 0$, то и степенная функция с иррациональным показателем определена только для $x > 0$.

Чтобы иметь единый подход и рассматривать свойства степенной функции в наиболее общем виде, не зависящем от конкретного значения показателя $\alpha$, в качестве универсальной области определения выбирают пересечение всех возможных областей определения, которым является промежуток $(0; +\infty)$. Это гарантирует, что функция $y=x^{\alpha}$ всегда корректно определена.

Ответ: Множество $(0; +\infty)$ принимается в качестве области определения степенной функции $y=x^\alpha$, так как это единственная область, на которой функция гарантированно определена для любого действительного показателя $\alpha$, включая иррациональные.

3. Рассмотрим поведение степенной функции $y=x^\alpha$ в точке $x=0$.

а) если показатель положителен ($\alpha > 0$):

В этом случае степенная функция в точке $x=0$ определена и равна нулю. Это следует из рассмотрения предела: $\lim_{x \to 0^+} x^\alpha = 0$ для любого $\alpha > 0$. Например, $0^2=0$, $0^{1/2}=0$, $0^{\pi}=0$. Поэтому принимается соглашение, что $0^\alpha = 0$ для любого положительного $\alpha$.

б) если показатель отрицателен ($\alpha < 0$):

В этом случае степенная функция в точке $x=0$ не определена. Пусть $\alpha = -p$, где $p > 0$. Тогда $x^\alpha = x^{-p} = \frac{1}{x^p}$. При $x=0$ знаменатель $x^p$ обращается в нуль (согласно пункту а)), а деление на ноль является недопустимой операцией. Предел функции при $x \to 0^+$ равен бесконечности: $\lim_{x \to 0^+} x^\alpha = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^p} = +\infty$. Поскольку предел не является конечным числом, функция не может быть доопределена по непрерывности в этой точке.

Ответ:

а) Да, определена. Если $\alpha > 0$, то $0^\alpha = 0$.

б) Нет, не определена. Если $\alpha < 0$, то $x^\alpha$ в точке $x=0$ не определена, так как это приводит к делению на ноль.

4. Рассмотрим степенную функцию $y = x^\alpha$ с показателем $\alpha = \frac{m}{2n-1}$, где $n \in \mathbb{N}$ и $m \in \mathbb{Z}$.

Данную функцию можно представить в виде корня: $y = x^{\frac{m}{2n-1}} = \sqrt[2n-1]{x^m}$.

Знаменатель дроби в показателе степени, $2n-1$, является показателем корня. Поскольку $\text{n}$ — натуральное число ($n \ge 1$), выражение $2n-1$ принимает значения $1, 3, 5, 7, \ldots$, то есть является нечетным натуральным числом.

Корень нечетной степени ($\sqrt[k]{a}$ где $\text{k}$ — нечетное) определен для любого действительного числа $\text{a}$, как положительного, так и отрицательного. Например, $\sqrt[3]{-8} = -2$.

Рассмотрим аргумент функции $x < 0$. Поскольку $\text{m}$ является целым числом, выражение $x^m$ будет действительным числом (положительным, если $\text{m}$ четное, и отрицательным, если $\text{m}$ нечетное). Затем из этого числа $x^m$ извлекается корень нечетной степени $2n-1$. Эта операция всегда выполнима в множестве действительных чисел.

Например, при $x = -32, n=3, m=1$, имеем $\alpha = \frac{1}{5}$. Функция $y = (-32)^{1/5} = \sqrt[5]{-32} = -2$ определена.

Единственное ограничение может возникнуть при $x=0$, если $\text{m}$ — отрицательное число, что приведет к делению на ноль. Однако для любых отрицательных значений аргумента $\text{x}$ функция будет определена.

Ответ: Функция $y=x^{\frac{m}{2n-1}}$ определена для отрицательных $\text{x}$, так как она представляет собой корень нечетной степени $2n-1$ из $x^m$. Корень нечетной степени из любого действительного числа (включая отрицательные) является определенным действительным числом.