Номер 3.67, страница 123, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.67. Расположите числа в порядке возрастания:

1) $(\frac{3}{2})^{-0.2}$, $(\frac{3}{2})^{0.2}$, $(\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}}$;

2) $(\frac{3}{4})^{\frac{10}{3}}$, $(\frac{2}{7})^{-\frac{6}{5}}$, $(\frac{13}{17})^0$;

3) $(\frac{4}{7})^{-\frac{2}{3}}$, $(\frac{49}{16})^{\frac{4}{3}}$, $(\frac{16}{49})^{-\frac{1}{4}}$;

4) $(\frac{2}{5})^{\frac{1}{5}}$, $(\frac{125}{8})^{-\frac{1}{15}}$, $(\frac{4}{25})^{-\frac{4}{3}}$.

1)

Даны числа: $(\frac{3}{2})^{-0.2}$, $(\frac{3}{2})^{0.2}$, $(\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}}$.

Основание степени $a = \frac{3}{2} = 1.5$. Так как основание $a > 1$, степенная функция $y = a^x$ является возрастающей. Это означает, что чем больше показатель степени, тем больше значение функции.

Сравним показатели степеней: $-0.2$, $0.2$ и $\frac{1}{3}$.

Представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $-0.2 = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$ и $0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Теперь сравним показатели: $-\frac{1}{5}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{3}$.

Очевидно, что $-\frac{1}{5}$ — наименьший показатель, так как он отрицательный.

Сравним $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{3}$. Приведем их к общему знаменателю 15: $\frac{1}{5} = \frac{3}{15}$ и $\frac{1}{3} = \frac{5}{15}$.

Так как $3 < 5$, то $\frac{3}{15} < \frac{5}{15}$, следовательно $\frac{1}{5} < \frac{1}{3}$.

Таким образом, показатели в порядке возрастания: $-0.2 < 0.2 < \frac{1}{3}$.

Поскольку функция возрастающая, числа располагаются в том же порядке:

$(\frac{3}{2})^{-0.2} < (\frac{3}{2})^{0.2} < (\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}}$.

Ответ: $(\frac{3}{2})^{-0.2}$, $(\frac{3}{2})^{0.2}$, $(\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}}$.

2)

Даны числа: $(\frac{3}{4})^{\frac{10}{3}}$, $(\frac{2}{7})^{-\frac{6}{5}}$, $(\frac{13}{17})^{0}$.

Упростим и оценим каждое выражение:

- Первое число: $(\frac{3}{4})^{\frac{10}{3}}$. Основание $\frac{3}{4}$ меньше 1, а показатель $\frac{10}{3}$ положителен. Значение этого числа находится в интервале $(0, 1)$.

- Второе число: $(\frac{2}{7})^{-\frac{6}{5}}$. Отрицательный показатель степени означает, что мы берем обратную дробь: $(\frac{7}{2})^{\frac{6}{5}}$. Основание $\frac{7}{2} = 3.5$ больше 1, показатель положительный, следовательно, значение этого числа больше 1.

- Третье число: $(\frac{13}{17})^{0}$. Любое ненулевое число в степени 0 равно 1.

Теперь у нас есть три значения для сравнения: число меньше 1, число равное 1, и число больше 1.

Расположив их в порядке возрастания, получаем:

$(\frac{3}{4})^{\frac{10}{3}} < (\frac{13}{17})^{0} < (\frac{2}{7})^{-\frac{6}{5}}$.

Ответ: $(\frac{3}{4})^{\frac{10}{3}}$, $(\frac{13}{17})^{0}$, $(\frac{2}{7})^{-\frac{6}{5}}$.

3)

Даны числа: $(\frac{4}{7})^{-\frac{2}{3}}$, $(\frac{49}{16})^{\frac{4}{3}}$, $(\frac{16}{49})^{-\frac{1}{4}}$.

Приведем все выражения к одному основанию. Заметим, что $16 = 4^2$ и $49 = 7^2$. Удобно использовать основание $\frac{7}{4}$.

- Первое число: $(\frac{4}{7})^{-\frac{2}{3}} = (\frac{7}{4})^{\frac{2}{3}}$.

- Второе число: $(\frac{49}{16})^{\frac{4}{3}} = ((\frac{7}{4})^2)^{\frac{4}{3}} = (\frac{7}{4})^{2 \cdot \frac{4}{3}} = (\frac{7}{4})^{\frac{8}{3}}$.

- Третье число: $(\frac{16}{49})^{-\frac{1}{4}} = (\frac{49}{16})^{\frac{1}{4}} = ((\frac{7}{4})^2)^{\frac{1}{4}} = (\frac{7}{4})^{2 \cdot \frac{1}{4}} = (\frac{7}{4})^{\frac{1}{2}}$.

Теперь нужно сравнить числа: $(\frac{7}{4})^{\frac{2}{3}}$, $(\frac{7}{4})^{\frac{8}{3}}$, $(\frac{7}{4})^{\frac{1}{2}}$.

Основание $a = \frac{7}{4} > 1$, значит, степенная функция возрастающая. Сравним показатели: $\frac{2}{3}$, $\frac{8}{3}$, $\frac{1}{2}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 6: $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$; $\frac{8}{3} = \frac{16}{6}$; $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$.

В порядке возрастания показатели располагаются так: $\frac{1}{2} < \frac{2}{3} < \frac{8}{3}$.

Следовательно, значения выражений в порядке возрастания:

$(\frac{7}{4})^{\frac{1}{2}} < (\frac{7}{4})^{\frac{2}{3}} < (\frac{7}{4})^{\frac{8}{3}}$.

Возвращаясь к исходным выражениям, получаем:

$(\frac{16}{49})^{-\frac{1}{4}} < (\frac{4}{7})^{-\frac{2}{3}} < (\frac{49}{16})^{\frac{4}{3}}$.

Ответ: $(\frac{16}{49})^{-\frac{1}{4}}$, $(\frac{4}{7})^{-\frac{2}{3}}$, $(\frac{49}{16})^{\frac{4}{3}}$.

4)

Даны числа: $(\frac{2}{5})^{\frac{1}{5}}$, $(\frac{125}{8})^{-\frac{1}{15}}$, $(\frac{4}{25})^{-\frac{4}{3}}$.

Приведем все выражения к одному основанию. Заметим, что $125=5^3$, $8=2^3$, $4=2^2$, $25=5^2$. Удобно использовать основание $\frac{2}{5}$.

- Первое число: $(\frac{2}{5})^{\frac{1}{5}}$.

- Второе число: $(\frac{125}{8})^{-\frac{1}{15}} = ((\frac{5}{2})^3)^{-\frac{1}{15}} = (\frac{5}{2})^{-3 \cdot \frac{1}{15}} = (\frac{5}{2})^{-\frac{1}{5}} = ((\frac{2}{5})^{-1})^{-\frac{1}{5}} = (\frac{2}{5})^{\frac{1}{5}}$.

- Третье число: $(\frac{4}{25})^{-\frac{4}{3}} = ((\frac{2}{5})^2)^{-\frac{4}{3}} = (\frac{2}{5})^{2 \cdot (-\frac{4}{3})} = (\frac{2}{5})^{-\frac{8}{3}}$.

Итак, мы имеем числа $(\frac{2}{5})^{\frac{1}{5}}$, $(\frac{2}{5})^{\frac{1}{5}}$ и $(\frac{2}{5})^{-\frac{8}{3}}$.

Основание $a = \frac{2}{5} < 1$, значит, степенная функция $y = a^x$ является убывающей. Это означает, что большему значению показателя соответствует меньшее значение функции.

Сравним показатели: $\frac{1}{5}$ и $-\frac{8}{3}$.

Так как $-\frac{8}{3} < \frac{1}{5}$ (отрицательное число меньше положительного), то для значений функции неравенство будет обратным:

$(\frac{2}{5})^{-\frac{8}{3}} > (\frac{2}{5})^{\frac{1}{5}}$.

Следовательно, первые два исходных числа равны между собой, и они меньше третьего числа.

$(\frac{2}{5})^{\frac{1}{5}} = (\frac{125}{8})^{-\frac{1}{15}} < (\frac{4}{25})^{-\frac{4}{3}}$.

Ответ: $(\frac{2}{5})^{\frac{1}{5}}$, $(\frac{125}{8})^{-\frac{1}{15}}$, $(\frac{4}{25})^{-\frac{4}{3}}$.