Номер 3.73, страница 124, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.73*. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt[3]{x-2}$;

2) $y = (x+3)^{\frac{1}{2}}+1$;

3) $y = \sqrt{\frac{x+3}{x-1}}$.

1)

Функция задана уравнением $y = \sqrt[3]{x} - 2$.

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y_0 = \sqrt[3]{x}$ путем преобразований.

1. Базовая функция: $y_0 = \sqrt[3]{x}$. Это стандартная функция кубического корня. Её область определения и область значений — все действительные числа ($D(y_0) = (-\infty; +\infty)$, $E(y_0) = (-\infty; +\infty)$). График проходит через начало координат, симметричен относительно него и является возрастающим на всей оси.

2. Преобразование: График функции $y = \sqrt[3]{x} - 2$ получается из графика $y_0 = \sqrt[3]{x}$ сдвигом на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

3. Свойства и ключевые точки:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как кубический корень определен для любого действительного числа.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$, так как сдвиг не меняет область значений.
• Пересечение с осью Oy (y-перехват): Найдем значение $\text{y}$ при $x=0$. $y = \sqrt[3]{0} - 2 = -2$. Точка пересечения: $(0, -2)$.
• Пересечение с осью Ox (x-перехват): Найдем значение $\text{x}$ при $y=0$. $0 = \sqrt[3]{x} - 2 \Rightarrow \sqrt[3]{x} = 2 \Rightarrow x = 2^3 = 8$. Точка пересечения: $(8, 0)$.
• Другие точки:
  • При $x=1$, $y = \sqrt[3]{1} - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка $(1, -1)$.
  • При $x=-1$, $y = \sqrt[3]{-1} - 2 = -1 - 2 = -3$. Точка $(-1, -3)$.
  • При $x=-8$, $y = \sqrt[3]{-8} - 2 = -2 - 2 = -4$. Точка $(-8, -4)$.

Построение графика:

Строим график $y_0 = \sqrt[3]{x}$, проходящий через точки $(-8, -2)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(8, 2)$. Затем сдвигаем этот график на 2 единицы вниз. Новая "центральная" точка, аналог начала координат, будет $(0, -2)$. График пройдет через вычисленные нами точки $(-8, -4)$, $(-1, -3)$, $(0, -2)$, $(1, -1)$, $(8, 0)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[3]{x} - 2$ является графиком функции $y = \sqrt[3]{x}$, сдвинутым на 2 единицы вниз по оси $Oy$. График пересекает ось ординат в точке $(0, -2)$ и ось абсцисс в точке $(8, 0)$. Функция возрастает на всей числовой прямой.

2)

Функция задана уравнением $y = (x+3)^{-\frac{1}{2}} + 1$. Перепишем её в более удобном виде: $y = \frac{1}{\sqrt{x+3}} + 1$.

1. Область определения: Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля. $x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3$. Итак, $D(y) = (-3; +\infty)$.

2. Преобразования: График данной функции можно получить из графика базовой функции $y_0 = \frac{1}{\sqrt{x}}$ (или $y_0 = x^{-\frac{1}{2}}$).

• График функции $y_1 = \frac{1}{\sqrt{x+3}}$ получается из графика $y_0$ сдвигом на 3 единицы влево вдоль оси $Ox$.
• График функции $y = \frac{1}{\sqrt{x+3}} + 1$ получается из графика $y_1$ сдвигом на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$.

3. Асимптоты:

• Вертикальная асимптота: Возникает там, где знаменатель обращается в ноль. Это происходит при $x = -3$. Поскольку функция определена для $x > -3$, мы рассматриваем предел справа: $\lim_{x \to -3^+} \left(\frac{1}{\sqrt{x+3}} + 1\right) = +\infty$. Таким образом, прямая $x=-3$ является вертикальной асимптотой.
• Горизонтальная асимптота: Рассмотрим поведение функции при $x \to +\infty$. $\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{1}{\sqrt{x+3}} + 1\right) = 0 + 1 = 1$. Таким образом, прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой.

4. Ключевые точки:

• Пересечение с осью Ox: Приравняем $\text{y}$ к нулю: $0 = \frac{1}{\sqrt{x+3}} + 1 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x+3}} = -1$. Это уравнение не имеет решений, так как дробь в левой части всегда положительна. График не пересекает ось $Ox$.
• Пересечение с осью Oy: Найдем значение $\text{y}$ при $x=0$: $y = \frac{1}{\sqrt{0+3}} + 1 = \frac{1}{\sqrt{3}} + 1 = \frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}+3}{3} \approx 1.577$. Точка пересечения: $(0, 1 + \frac{1}{\sqrt{3}})$.
• Другая точка: Например, при $x=1$, $y = \frac{1}{\sqrt{1+3}} + 1 = \frac{1}{2} + 1 = 1.5$. Точка $(1, 1.5)$.

Построение графика:

График расположен в области $x > -3$. Он имеет вертикальную асимптоту $x=-3$ и горизонтальную асимптоту $y=1$. Функция убывает на всей области определения. Она начинается "из бесконечности" у асимптоты $x=-3$, проходит через точку $(0, 1 + \frac{1}{\sqrt{3}})$ и приближается к асимптоте $y=1$ при увеличении $\text{x}$.

Ответ: График функции $y = (x+3)^{-\frac{1}{2}} + 1$ расположен в полуплоскости $x > -3$. Он имеет вертикальную асимптоту $x=-3$ и горизонтальную асимптоту $y=1$. Функция убывает на всей области определения, стремясь к $+\infty$ при $x \to -3^+$ и к $\text{1}$ при $x \to +\infty$. График пересекает ось $Oy$ в точке $(0, 1 + \frac{1}{\sqrt{3}})$.

3)

Функция задана уравнением $y = \sqrt{\frac{x+3}{x-1}}$.

1. Область определения: Выражение под корнем должно быть неотрицательным. $\frac{x+3}{x-1} \ge 0$. Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x = -3$. Нули знаменателя: $x = 1$. Наносим точки на числовую прямую и определяем знаки дроби в интервалах:

• При $x > 1$: $\frac{+}{+} > 0$. Интервал подходит.
• При $-3 < x < 1$: $\frac{+}{-} < 0$. Интервал не подходит.
• При $x < -3$: $\frac{-}{-} > 0$. Интервал подходит.

Точка $x=-3$ включается в решение (т.к. неравенство нестрогое), а точка $x=1$ исключается (т.к. это корень знаменателя). Область определения: $D(y) = (-\infty; -3] \cup (1; +\infty)$.

2. Асимптоты:

• Вертикальная асимптота: Может существовать в точке $x=1$. Рассмотрим предел справа (слева функция не определена): $\lim_{x \to 1^+} \sqrt{\frac{x+3}{x-1}}$. При $x \to 1^+$, числитель $x+3 \to 4$, а знаменатель $x-1 \to 0^+$. Дробь $\frac{x+3}{x-1} \to +\infty$. Следовательно, $\lim_{x \to 1^+} y = +\infty$. Прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой.
• Горизонтальная асимптота: Рассмотрим поведение функции при $x \to \pm\infty$. $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x+3}{x-1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1+3/x}{1-1/x} = 1$. Тогда $\lim_{x \to \pm\infty} y = \sqrt{1} = 1$. Прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой для обеих ветвей графика.

3. Ключевые точки:

• Пересечение с осью Ox: Приравняем $\text{y}$ к нулю: $y=0 \Rightarrow \sqrt{\frac{x+3}{x-1}} = 0 \Rightarrow \frac{x+3}{x-1}=0$. Это возможно, когда числитель равен нулю, а знаменатель нет. $x+3=0 \Rightarrow x=-3$. Точка пересечения: $(-3, 0)$.
• Пересечение с осью Oy: $x=0$ не входит в область определения функции, поэтому пересечения с осью $Oy$ нет.

4. Положение графика относительно асимптоты $y=1$:

• Для правой ветви ($x > 1$): $x+3 > x-1$. Так как $x-1 > 0$, то $\frac{x+3}{x-1} > 1$, и значит $y = \sqrt{\frac{x+3}{x-1}} > 1$. График находится выше асимптоты $y=1$.
• Для левой ветви ($x \le -3$): $x+3 < x-1$. Так как $x-1 < 0$, при делении знак неравенства меняется: $\frac{x+3}{x-1} < 1$. Так как на этой ветви дробь положительна, то $0 \le \frac{x+3}{x-1} < 1$. Значит $0 \le y < 1$. График находится ниже асимптоты $y=1$.

Построение графика:

График состоит из двух ветвей.

• Левая ветвь: Начинается в точке $(-3, 0)$, идет влево и асимптотически приближается к прямой $y=1$ снизу.
• Правая ветвь: Начинается "от бесконечности" у вертикальной асимптоты $x=1$, идет вправо и асимптотически приближается к прямой $y=1$ сверху.

Ответ: График функции $y = \sqrt{\frac{x+3}{x-1}}$ состоит из двух ветвей. Область определения $D(y) = (-\infty; -3] \cup (1; +\infty)$. Прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой, а прямая $y=1$ — горизонтальной асимптотой. Левая ветвь начинается в точке $(-3, 0)$ и приближается к $y=1$ снизу при $x \to -\infty$. Правая ветвь уходит на $+\infty$ при $x \to 1^+$ и приближается к $y=1$ сверху при $x \to +\infty$.