Номер 3.74, страница 124, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.74. Пусть функция $f(x)$ - четная и такая, что:

1) $f(x) = \sqrt[4]{x}, x \geq 0;$

2) $f(x) = \sqrt[8]{x}, x \geq 0;$

3) $f(x) = \sqrt{\frac{1}{x}}, x > 0.$

Запишите уравнение функции $f(x)$ одной формулой.

1)

По условию, функция $f(x)$ является четной. Это означает, что для любого $\text{x}$ из области определения функции выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Также дано, что при $x \ge 0$, функция имеет вид $f(x) = \sqrt[4]{x}$.

Мы ищем единую формулу для $f(x)$, которая будет верна для всех $\text{x}$ из ее области определения.

Для $x \ge 0$, мы имеем $f(x) = \sqrt[4]{x}$. Поскольку для неотрицательных $\text{x}$ верно, что $|x| = x$, мы можем переписать это как $f(x) = \sqrt[4]{|x|}$.

Для $x < 0$, мы используем свойство четности: $f(x) = f(-x)$. Так как $x < 0$, то $-x > 0$. Следовательно, мы можем применить к аргументу $-x$ данную в условии формулу: $f(-x) = \sqrt[4]{-x}$. Таким образом, для $x < 0$ получаем $f(x) = \sqrt[4]{-x}$. Поскольку для отрицательных $\text{x}$ верно, что $|x| = -x$, мы можем переписать это как $f(x) = \sqrt[4]{|x|}$.

Объединяя оба случая, мы видим, что для любого $\text{x}$ из области определения функция может быть записана одной формулой. Область определения функции $f(x) = \sqrt[4]{|x|}$ - все действительные числа, так как $|x| \ge 0$ для любого $\text{x}$.

Ответ: $f(x) = \sqrt[4]{|x|}$

2)

По условию, функция $f(x)$ является четной, и при $x \ge 0$ она задается формулой $f(x) = \sqrt[3]{x}$.

Для $x \ge 0$, мы можем записать $f(x) = \sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{|x|}$, так как $|x| = x$ для $x \ge 0$.

Для $x < 0$, используем свойство четности $f(x) = f(-x)$. Так как $-x > 0$, мы можем применить к нему заданную формулу: $f(-x) = \sqrt[3]{-x}$. Следовательно, для $x < 0$ имеем $f(x) = \sqrt[3]{-x}$. Так как $|x| = -x$ для $x < 0$, это можно записать как $f(x) = \sqrt[3]{|x|}$.

Таким образом, для всех $\text{x}$ из области определения (все действительные числа) функция задается единой формулой.

Ответ: $f(x) = \sqrt[3]{|x|}$

3)

По условию, функция $f(x)$ четная, и для $x > 0$ она задается формулой $f(x) = \sqrt{\frac{1}{x}}$. Обратите внимание, что $x=0$ не входит в область определения.

Для $x > 0$, мы имеем $f(x) = \sqrt{\frac{1}{x}}$. Так как $|x| = x$ для $x > 0$, мы можем переписать это как $f(x) = \sqrt{\frac{1}{|x|}}$.

Для $x < 0$, используем свойство четности $f(x) = f(-x)$. Так как $x < 0$, то $-x > 0$, и мы можем применить заданную формулу к аргументу $-x$: $f(-x) = \sqrt{\frac{1}{-x}}$. Таким образом, для $x < 0$ получаем $f(x) = \sqrt{\frac{1}{-x}}$. Поскольку для $x < 0$ верно, что $|x| = -x$, мы можем переписать это как $f(x) = \sqrt{\frac{1}{|x|}}$.

В обоих случаях ($x>0$ и $x<0$) функция описывается одной и той же формулой. Область определения функции $f(x) = \sqrt{\frac{1}{|x|}}$ есть все действительные числа, кроме $x=0$.

Ответ: $f(x) = \sqrt{\frac{1}{|x|}}$