Номер 3.69, страница 123, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.69. Постройте графики функций из упражнения 3.68. Сравните их с графиками функций $y = x$ и $y = \frac{1}{x}$.

1) $y = x^{\sqrt{2}};$

2) $y = x^{-\sqrt{3}};$

3) $y = x^{\sqrt[3]{2}};$

4) $y = x^{-\sqrt[3]{\frac{1}{2}}}?$

1) $y = x^{\sqrt{2}}$

Это степенная функция вида $y = x^a$ с показателем $a = \sqrt{2}$. Поскольку показатель степени является иррациональным числом, функция определена только для положительных значений $\text{x}$.

Построение графика:

1. Область определения функции: $x \in (0, +\infty)$.

2. Показатель степени $a = \sqrt{2} \approx 1.414$, что больше 1. Следовательно, функция является возрастающей на всей области определения.

3. График функции проходит через точку $(1, 1)$, поскольку $1^{\sqrt{2}} = 1$.

4. График является выпуклым вниз (вогнутым). Он начинается в точке $(0, 0)$ (так как $\lim_{x\to 0^+} x^{\sqrt{2}} = 0$) и неограниченно возрастает при $x \to +\infty$.

Сравнение с другими графиками:

• Сравнение с $y=x$: Так как показатель $\sqrt{2} > 1$, график функции $y = x^{\sqrt{2}}$ расположен ниже прямой $y=x$ на интервале $(0, 1)$ и выше прямой $y=x$ на интервале $(1, +\infty)$. Они пересекаются в точке $(1, 1)$.

• Сравнение с $y=\frac{1}{x}$: Функция $y=x^{\sqrt{2}}$ возрастает, в то время как $y=\frac{1}{x}$ убывает. Их графики пересекаются в точке $(1, 1)$.

Ответ: График функции $y=x^{\sqrt{2}}$ — это возрастающая кривая, выпуклая вниз, проходящая через точки $(0,0)$ и $(1,1)$. По сравнению с графиком $y=x$, он расположен ниже на интервале $(0,1)$ и выше на интервале $(1, \infty)$.

2) $y = x^{-\sqrt{3}}$

Это степенная функция вида $y = x^a$ с показателем $a = -\sqrt{3}$. Поскольку показатель степени иррационален, функция определена для $x > 0$.

Построение графика:

1. Область определения функции: $x \in (0, +\infty)$.

2. Показатель степени $a = -\sqrt{3} \approx -1.732$, что меньше 0. Следовательно, функция является убывающей на всей области определения.

3. График функции проходит через точку $(1, 1)$, поскольку $1^{-\sqrt{3}} = 1$.

4. График имеет асимптоты: ось $\text{y}$ является вертикальной асимптотой ($\lim_{x \to 0^+} x^{-\sqrt{3}} = +\infty$), а ось $\text{x}$ — горизонтальной асимптотой ($\lim_{x \to +\infty} x^{-\sqrt{3}} = 0$).

Сравнение с другими графиками:

• Сравнение с $y=\frac{1}{x} = x^{-1}$: Так как показатель $-\sqrt{3} < -1$, график функции $y = x^{-\sqrt{3}}$ расположен выше графика $y=\frac{1}{x}$ на интервале $(0, 1)$ и ниже графика $y=\frac{1}{x}$ на интервале $(1, +\infty)$. Они пересекаются в точке $(1, 1)$.

• Сравнение с $y=x$: Функция $y = x^{-\sqrt{3}}$ убывает, а $y=x$ возрастает. Их графики пересекаются в точке $(1, 1)$.

Ответ: График функции $y=x^{-\sqrt{3}}$ — это убывающая кривая в первом квадранте, проходящая через точку $(1,1)$, для которой оси координат являются асимптотами. По сравнению с графиком $y=1/x$, он расположен выше на интервале $(0,1)$ и ниже на интервале $(1, \infty)$.

3) $y = x^{\sqrt[3]{2/3}}$

Это степенная функция вида $y = x^a$ с показателем $a = \sqrt[3]{2/3}$. Поскольку показатель степени иррационален, функция определена для $x > 0$.

Построение графика:

1. Область определения функции: $x \in (0, +\infty)$.

2. Показатель степени $a = \sqrt[3]{2/3} \approx 0.873$, то есть $0 < a < 1$. Следовательно, функция является возрастающей на всей области определения.

3. График функции проходит через точку $(1, 1)$, поскольку $1^{\sqrt[3]{2/3}} = 1$.

4. График является выпуклым вверх. Он начинается в точке $(0, 0)$ (так как $\lim_{x\to 0^+} x^{\sqrt[3]{2/3}} = 0$) и неограниченно возрастает при $x \to +\infty$.

Сравнение с другими графиками:

• Сравнение с $y=x$: Так как показатель $0 < \sqrt[3]{2/3} < 1$, график функции $y = x^{\sqrt[3]{2/3}}$ расположен выше прямой $y=x$ на интервале $(0, 1)$ и ниже прямой $y=x$ на интервале $(1, +\infty)$. Они пересекаются в точке $(1, 1)$.

• Сравнение с $y=\frac{1}{x}$: Функция $y=x^{\sqrt[3]{2/3}}$ возрастает, а $y=\frac{1}{x}$ убывает. Их графики пересекаются в точке $(1, 1)$.

Ответ: График функции $y=x^{\sqrt[3]{2/3}}$ — это возрастающая кривая, выпуклая вверх, проходящая через точки $(0,0)$ и $(1,1)$. По сравнению с графиком $y=x$, он расположен выше на интервале $(0,1)$ и ниже на интервале $(1, \infty)$.

4) $y = x^{-\sqrt[3]{2/3}}$

Это степенная функция вида $y = x^a$ с показателем $a = -\sqrt[3]{2/3}$. Поскольку показатель степени иррационален, функция определена для $x > 0$.

Построение графика:

1. Область определения функции: $x \in (0, +\infty)$.

2. Показатель степени $a = -\sqrt[3]{2/3} \approx -0.873$, то есть $-1 < a < 0$. Следовательно, функция является убывающей на всей области определения.

3. График функции проходит через точку $(1, 1)$, поскольку $1^{-\sqrt[3]{2/3}} = 1$.

4. График имеет асимптоты: ось $\text{y}$ является вертикальной асимптотой ($\lim_{x \to 0^+} x^{-\sqrt[3]{2/3}} = +\infty$), а ось $\text{x}$ — горизонтальной асимптотой ($\lim_{x \to +\infty} x^{-\sqrt[3]{2/3}} = 0$).

Сравнение с другими графиками:

• Сравнение с $y=\frac{1}{x} = x^{-1}$: Так как показатель $-1 < -\sqrt[3]{2/3} < 0$, график функции $y = x^{-\sqrt[3]{2/3}}$ расположен ниже графика $y=\frac{1}{x}$ на интервале $(0, 1)$ и выше графика $y=\frac{1}{x}$ на интервале $(1, +\infty)$. Они пересекаются в точке $(1, 1)$.

• Сравнение с $y=x$: Функция $y = x^{-\sqrt[3]{2/3}}$ убывает, а $y=x$ возрастает. Их графики пересекаются в точке $(1, 1)$.

Ответ: График функции $y=x^{-\sqrt[3]{2/3}}$ — это убывающая кривая в первом квадранте, проходящая через точку $(1,1)$, для которой оси координат являются асимптотами. По сравнению с графиком $y=1/x$, он расположен ниже на интервале $(0,1)$ и выше на интервале $(1, \infty)$.