Номер 3.75, страница 124, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.75*. Нечетная функция $f(x)$ удовлетворяет условию:

1) $f(x) = \sqrt[4]{x}, x \geq 0$;

2) $f(x) = \sqrt[3]{x}, x \geq 0$;

3) $f(x) = \sqrt{\frac{1}{x}}, x > 0$.

Запишите уравнение функции $f(x)$ одной формулой.

По определению, нечетная функция $f(x)$ удовлетворяет равенству $f(-x) = -f(x)$ для всех $\text{x}$ из ее области определения. Область определения нечетной функции должна быть симметрична относительно нуля. Мы используем это свойство, чтобы найти формулу для $f(x)$ при $x < 0$, зная ее вид при $x \ge 0$.

1) Дано, что $f(x) = \sqrt[4]{x}$ при $x \ge 0$.

Область определения функции $f(x)$ — все действительные числа, так как корень четвертой степени из неотрицательного числа существует.

Для $x \ge 0$ формула уже задана: $f(x) = \sqrt[4]{x}$.

Для $x < 0$, воспользуемся свойством нечетности. Пусть $x < 0$, тогда $-x > 0$.

$f(x) = -f(-x)$. Поскольку $-x > 0$, мы можем применить к нему заданную формулу: $f(-x) = \sqrt[4]{-x}$.

Следовательно, для $x < 0$ имеем $f(x) = -\sqrt[4]{-x}$.

Теперь объединим эти два случая в одну формулу. Для этого можно использовать функцию знака $\text{sgn}(x)$ и модуль $|x|$:

При $x > 0$: $\text{sgn}(x) = 1, |x|=x$, и формула $f(x) = \text{sgn}(x)\sqrt[4]{|x|} = 1 \cdot \sqrt[4]{x} = \sqrt[4]{x}$.

При $x < 0$: $\text{sgn}(x) = -1, |x|=-x$, и формула $f(x) = \text{sgn}(x)\sqrt[4]{|x|} = -1 \cdot \sqrt[4]{-x} = -\sqrt[4]{-x}$.

При $x = 0$: $f(0) = \sqrt[4]{0} = 0$, и $\text{sgn}(0)\sqrt[4]{|0|} = 0 \cdot 0 = 0$.

Таким образом, формула подходит для всех $\text{x}$.

Ответ: $f(x) = \text{sgn}(x)\sqrt[4]{|x|}$

2) Дано, что $f(x) = \sqrt[3]{x}$ при $x \ge 0$.

Рассмотрим функцию $g(x) = \sqrt[3]{x}$, определенную для всех действительных чисел. Проверим ее на нечетность:

$g(-x) = \sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x} = -g(x)$.

Функция $g(x) = \sqrt[3]{x}$ сама по себе является нечетной.

Поскольку она удовлетворяет условию $f(x) = \sqrt[3]{x}$ для $x \ge 0$ и является нечетной, то она и есть искомая функция $f(x)$ для всех $\text{x}$.

Ответ: $f(x) = \sqrt[3]{x}$

3) Дано, что $f(x) = \sqrt{\frac{1}{x}}$ при $x > 0$.

Заметим, что $x=0$ не входит в область определения. Так как функция нечетная, ее область определения симметрична, значит, она определена для всех $x \ne 0$.

Упростим выражение для $x>0$: $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Найдем формулу для $x < 0$. По свойству нечетности $f(x) = -f(-x)$.

Так как $x < 0$, то $-x > 0$. Мы можем применить к $-x$ заданную формулу: $f(-x) = \frac{1}{\sqrt{-x}}$.

Тогда для $x < 0$ получаем $f(x) = -\frac{1}{\sqrt{-x}}$.

Объединим два случая в одну формулу, используя $\text{sgn}(x)$ и $|x|$:

При $x > 0$: $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$. Формула $\frac{\text{sgn}(x)}{\sqrt{|x|}}$ дает $\frac{1}{\sqrt{x}}$.

При $x < 0$: $f(x) = -\frac{1}{\sqrt{-x}}$. Формула $\frac{\text{sgn}(x)}{\sqrt{|x|}}$ дает $\frac{-1}{\sqrt{-x}}$.

Обе части совпадают. Можно также записать эту формулу в другом виде, используя $\text{sgn}(x) = \frac{x}{|x|}$ для $x \ne 0$:

$f(x) = \frac{x}{|x|} \cdot \frac{1}{\sqrt{|x|}} = \frac{x}{|x|\sqrt{|x|}} = \frac{x}{|x|^{3/2}}$.

Ответ: $f(x) = \frac{x}{|x|^{3/2}}$