Номер 3.78, страница 124, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.78. Решите уравнение:

1) $(\left(\sqrt[3]{x}\right)^{-\frac{1}{2}})^{\frac{6}{5}} = \left(\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{-\frac{4}{3}}\right)^{\frac{6}{5}}$;

2) $\left(\frac{x^2}{\sqrt[4]{x^3}}\right)^{-\frac{4}{5}} = \left(\sqrt[3]{x^2\sqrt{x^3}}\right)^{\frac{6}{7}}$

1) Исходное уравнение: $((\sqrt[8]{x})^{-\frac{1}{2}})^{\frac{6}{5}} = ((\frac{1}{\sqrt{x}})^{-\frac{4}{3}})^{\frac{6}{5}}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $x > 0$, поскольку $\text{x}$ находится под знаком корня.

Для решения преобразуем обе части уравнения, используя свойства степеней: $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$, $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.

Сначала упростим левую часть уравнения:

$((\sqrt[8]{x})^{-\frac{1}{2}})^{\frac{6}{5}} = ((x^{\frac{1}{8}})^{-\frac{1}{2}})^{\frac{6}{5}} = x^{\frac{1}{8} \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot \frac{6}{5}} = x^{-\frac{6}{80}} = x^{-\frac{3}{40}}$.

Теперь упростим правую часть уравнения:

$((\frac{1}{\sqrt{x}})^{-\frac{4}{3}})^{\frac{6}{5}} = ((x^{-\frac{1}{2}})^{-\frac{4}{3}})^{\frac{6}{5}} = x^{(-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{4}{3}) \cdot \frac{6}{5}} = x^{\frac{24}{30}} = x^{\frac{4}{5}}$.

В результате преобразований получаем следующее уравнение:

$x^{-\frac{3}{40}} = x^{\frac{4}{5}}$.

Данное равенство для $x>0$ выполняется только в том случае, если $x=1$, поскольку показатели степеней не равны ($-\frac{3}{40} \neq \frac{4}{5}$).

Также можно решить, разделив обе части на $x^{\frac{4}{5}}$ (что допустимо, так как $x \neq 0$):

$\frac{x^{-\frac{3}{40}}}{x^{\frac{4}{5}}} = 1$

$x^{-\frac{3}{40} - \frac{4}{5}} = 1$

$x^{-\frac{3}{40} - \frac{32}{40}} = 1$

$x^{-\frac{35}{40}} = 1$

$x^{-\frac{7}{8}} = 1$.

Единственным действительным решением уравнения $x^a=1$ (при $a \neq 0$) является $x=1$.

Ответ: $x=1$.

2) Исходное уравнение: $(\frac{x^2}{\sqrt[4]{x^3}})^{-\frac{4}{5}} = (\sqrt[3]{x^2 \sqrt{x^3}})^{\frac{6}{7}}$.

ОДЗ: $x > 0$.

Упростим левую часть уравнения, используя свойства степеней:

$(\frac{x^2}{\sqrt[4]{x^3}})^{-\frac{4}{5}} = (\frac{x^2}{x^{\frac{3}{4}}})^{-\frac{4}{5}} = (x^{2 - \frac{3}{4}})^{-\frac{4}{5}} = (x^{\frac{8-3}{4}})^{-\frac{4}{5}} = (x^{\frac{5}{4}})^{-\frac{4}{5}} = x^{\frac{5}{4} \cdot (-\frac{4}{5})} = x^{-1} = \frac{1}{x}$.

Теперь упростим правую часть уравнения:

$(\sqrt[3]{x^2 \sqrt{x^3}})^{\frac{6}{7}} = (\sqrt[3]{x^2 \cdot x^{\frac{3}{2}}})^{\frac{6}{7}} = (\sqrt[3]{x^{2 + \frac{3}{2}}})^{\frac{6}{7}} = (\sqrt[3]{x^{\frac{4+3}{2}}})^{\frac{6}{7}} = (\sqrt[3]{x^{\frac{7}{2}}})^{\frac{6}{7}} = ((x^{\frac{7}{2}})^{\frac{1}{3}})^{\frac{6}{7}} = (x^{\frac{7}{6}})^{\frac{6}{7}} = x^{\frac{7}{6} \cdot \frac{6}{7}} = x^1 = x$.

В результате получаем простое уравнение:

$\frac{1}{x} = x$.

Умножим обе части на $\text{x}$ (так как из ОДЗ $x \neq 0$):

$1 = x^2$.

Корнями этого уравнения являются $x=1$ и $x=-1$.

Однако, согласно ОДЗ, $\text{x}$ должен быть положительным ($x>0$), поэтому корень $x=-1$ не подходит.

Ответ: $x=1$.