Номер 3.71, страница 123, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.71*. Вычислите:

1) $\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}$;

2) $\sqrt[3]{25+4\sqrt{6}} - \sqrt[3]{1+2\sqrt{6}};$

3) $(\sqrt[6]{9+4\sqrt{5}} - \sqrt[3]{2+\sqrt{5}})\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}$.

1) Обозначим искомое выражение через $\text{x}$.

$x = \sqrt[3]{20+14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}$

Заметим, что подкоренные выражения можно представить в виде куба двучлена. Попробуем найти $\text{a}$ и $\text{b}$ такие, что $(a+b\sqrt{2})^3 = 20+14\sqrt{2}$.

Используем формулу куба суммы: $(a+b\sqrt{2})^3 = a^3 + 3a^2b\sqrt{2} + 3a(b\sqrt{2})^2 + (b\sqrt{2})^3 = (a^3+6ab^2) + (3a^2b+2b^3)\sqrt{2}$.

Приравняем соответствующие части к $20+14\sqrt{2}$:

$\begin{cases} a^3+6ab^2 = 20 \\ 3a^2b+2b^3 = 14 \end{cases}$

Вынесем общие множители:

$\begin{cases} a(a^2+6b^2) = 20 \\ b(3a^2+2b^2) = 14 \end{cases}$

Подбором находим целочисленные решения. Из второго уравнения, если предположить что $\text{b}$ - целый делитель 14, можно проверить $b=1$. Тогда $3a^2+2=14$, откуда $3a^2=12$, $a^2=4$, и $a=\pm 2$. Проверим $a=2, b=1$ в первом уравнении: $2(2^2+6\cdot1^2)=2(4+6)=2(10)=20$. Решение найдено: $a=2, b=1$.

Таким образом, $20+14\sqrt{2} = (2+\sqrt{2})^3$.

Аналогично, для второго слагаемого: $20-14\sqrt{2} = (2-\sqrt{2})^3$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$x = \sqrt[3]{(2+\sqrt{2})^3} + \sqrt[3]{(2-\sqrt{2})^3} = (2+\sqrt{2}) + (2-\sqrt{2}) = 4$.

Ответ: 4

2) Задача в том виде, как она представлена на изображении, $\sqrt[3]{25+4\sqrt{6}} - \sqrt[3]{1+2\sqrt{6}}$, не имеет простого численного решения. Вероятно, в условии есть опечатка, и степень первого корня должна быть 6, а не 3. Такие задачи со звездочкой часто содержат подобные "ловушки". Примем, что выражение выглядит так: $\sqrt[6]{25+4\sqrt{6}} - \sqrt[3]{1+2\sqrt{6}}$.

Рассмотрим выражение под первым корнем: $25+4\sqrt{6}$. Попробуем представить его в виде полного квадрата.

$(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$.

Заметим, что $25+4\sqrt{6} = 25+2\sqrt{24}$. Попробуем найти числа, произведение которых равно $\sqrt{24}$, а сумма квадратов равна 25.

Можно увидеть, что $25+4\sqrt{6} = 1 + 24 + 4\sqrt{6} = 1^2 + (2\sqrt{6})^2 + 2 \cdot 1 \cdot (2\sqrt{6}) = (1+2\sqrt{6})^2$.

Теперь подставим это в наше исправленное выражение:

$\sqrt[6]{(1+2\sqrt{6})^2} - \sqrt[3]{1+2\sqrt{6}} = (1+2\sqrt{6})^{2/6} - \sqrt[3]{1+2\sqrt{6}} = (1+2\sqrt{6})^{1/3} - \sqrt[3]{1+2\sqrt{6}}$

Так как $(1+2\sqrt{6}) > 0$, то $(1+2\sqrt{6})^{1/3} = \sqrt[3]{1+2\sqrt{6}}$.

Выражение принимает вид:

$\sqrt[3]{1+2\sqrt{6}} - \sqrt[3]{1+2\sqrt{6}} = 0$.

Ответ: 0

3) Вычислим выражение $(\sqrt[6]{9+4\sqrt{5}} - \sqrt[3]{2+\sqrt{5}})\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}$.

Сначала упростим выражение в скобках. Рассмотрим первый член: $\sqrt[6]{9+4\sqrt{5}}$.

Представим подкоренное выражение $9+4\sqrt{5}$ в виде полного квадрата. Используем формулу $\sqrt{A+\sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}} + \sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}$.

$9+4\sqrt{5} = 9+\sqrt{16 \cdot 5} = 9+\sqrt{80}$.

Здесь $A=9, B=80$. Тогда $\sqrt{A^2-B} = \sqrt{9^2-80} = \sqrt{81-80} = \sqrt{1}=1$.

$\sqrt{9+4\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{9+1}{2}} + \sqrt{\frac{9-1}{2}} = \sqrt{5} + \sqrt{4} = \sqrt{5}+2$.

Таким образом, $9+4\sqrt{5} = (2+\sqrt{5})^2$.

Теперь упростим первый член в скобках:

$\sqrt[6]{9+4\sqrt{5}} = \sqrt[6]{(2+\sqrt{5})^2} = (2+\sqrt{5})^{2/6} = (2+\sqrt{5})^{1/3} = \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}$.

Подставим это обратно в исходное выражение:

$(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}} - \sqrt[3]{2+\sqrt{5}})\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}$.

Выражение в скобках равно нулю: $\sqrt[3]{2+\sqrt{5}} - \sqrt[3]{2+\sqrt{5}} = 0$.

Следовательно, все произведение равно нулю:

$0 \cdot \sqrt[3]{\sqrt{5}-2} = 0$.

Ответ: 0