Номер 3.65, страница 122, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.65. Постройте график функции:

1) $y = x^{\frac{3}{2}};$

2) $y = \sqrt[4]{x};$

3) $y = x^{2};$

4) $y = x^{-\frac{1}{2}}.$

1) $y = x^{\frac{3}{2}}$

Для построения графика этой функции проанализируем ее свойства. Функцию можно представить в виде $y = \sqrt{x^3}$ или, что удобнее для вычислений, $y = (\sqrt{x})^3$.

Область определения: Показатель степени $a = \frac{3}{2}$ является дробным с четным знаменателем. Это означает, что основание степени $\text{x}$ должно быть неотрицательным, так как мы извлекаем квадратный корень. Таким образом, $x \ge 0$. Область определения: $D(y) = [0, +\infty)$.

Область значений: Для любого $x \ge 0$ значение $y = (\sqrt{x})^3$ также будет неотрицательным. Область значений: $E(y) = [0, +\infty)$.

Ключевые точки для построения:

- при $x=0$, $y=0^{\frac{3}{2}}=0$. Точка (0, 0).

- при $x=1$, $y=1^{\frac{3}{2}}=1$. Точка (1, 1).

- при $x=4$, $y=4^{\frac{3}{2}}=(\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$. Точка (4, 8).

Поведение функции: Функция является степенной с показателем $a = \frac{3}{2} > 1$. На своей области определения она непрерывна и монотонно возрастает. График начинается в точке (0, 0) и расположен в первой координатной четверти. Кривая выпукла вниз (направлена вогнутостью вверх), то есть скорость роста функции увеличивается с ростом $\text{x}$.

Ответ: График функции $y = x^{\frac{3}{2}}$ — это кривая, выходящая из начала координат (0, 0), расположенная в первом квадранте. Она проходит через точки (1, 1) и (4, 8) и монотонно возрастает, причем ее кривизна направлена вверх (функция выпукла вниз).

2) $y = \sqrt[4]{x}$

Для построения графика функции $y = \sqrt[4]{x}$ исследуем ее свойства. Функцию можно представить в виде степенной функции $y = x^{\frac{1}{4}}$.

Область определения: Так как мы извлекаем корень четной (четвертой) степени, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Область определения: $D(y) = [0, +\infty)$.

Область значений: По определению арифметического корня, результат всегда неотрицателен, поэтому $y \ge 0$. Область значений: $E(y) = [0, +\infty)$.

Ключевые точки для построения:

- при $x=0$, $y=\sqrt[4]{0}=0$. Точка (0, 0).

- при $x=1$, $y=\sqrt[4]{1}=1$. Точка (1, 1).

- при $x=16$, $y=\sqrt[4]{16}=2$. Точка (16, 2).

Поведение функции: Функция является степенной с показателем $a = \frac{1}{4}$, где $0 < a < 1$. Она непрерывна и монотонно возрастает на всей области определения. График начинается в начале координат, и касательная к нему в этой точке является вертикальной (совпадает с осью OY). Кривая выпукла вверх (направлена вогнутостью вниз), то есть скорость ее роста замедляется с увеличением $\text{x}$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[4]{x}$ — это кривая, выходящая из начала координат (0, 0) с вертикальной касательной и расположенная в первом квадранте. Она проходит через точки (1, 1) и (16, 2). Функция возрастает, но ее рост замедляется (кривая выпукла вверх).

3) $y = x^2$

Функция $y=x^2$ является одной из основных элементарных функций, ее график — парабола.

Область определения: Функция определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Область значений: Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, поэтому $y \ge 0$. Область значений: $E(y) = [0, +\infty)$.

Свойства и ключевые точки:

- Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх.

- Вершина параболы находится в начале координат, в точке (0, 0).

- Функция является четной, так как $y(-x) = (-x)^2 = x^2 = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси OY.

- Ключевые точки для построения: (-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4).

Поведение функции: Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$. В точке $x=0$ она достигает своего минимума, $y_{min}=0$.

Ответ: График функции $y=x^2$ — это стандартная парабола с вершиной в начале координат (0, 0), симметричная относительно оси OY, ветви которой направлены вверх.

4) $y = x^{-\frac{1}{2}}$

Для построения графика функции $y = x^{-\frac{1}{2}}$ исследуем ее свойства. Функцию можно представить в виде $y = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Область определения: Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным (неотрицательным из-за корня и не равным нулю из-за нахождения в знаменателе). Таким образом, $x > 0$. Область определения: $D(y) = (0, +\infty)$.

Область значений: Так как $\sqrt{x} > 0$ для всех $\text{x}$ из области определения, то и его обратная величина $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ также будет строго положительной. Область значений: $E(y) = (0, +\infty)$.

Асимптоты:

- При $\text{x}$, стремящемся к $\text{0}$ справа ($x \to 0^+$), знаменатель $\sqrt{x}$ также стремится к $\text{0}$, оставаясь положительным. В результате вся дробь стремится к $+\infty$. Следовательно, ось OY (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой.

- При $\text{x}$, стремящемся к $+\infty$ ($x \to +\infty$), знаменатель $\sqrt{x}$ также стремится к $+\infty$. В результате вся дробь стремится к $\text{0}$. Следовательно, ось OX (прямая $y=0$) является горизонтальной асимптотой.

Ключевые точки для построения:

- при $x=1$, $y=1^{-\frac{1}{2}}=1$. Точка (1, 1).

- при $x=4$, $y=4^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2}$. Точка (4, 0.5).

- при $x=\frac{1}{4}$, $y=(\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{1/4}} = \frac{1}{1/2} = 2$. Точка (0.25, 2).

Поведение функции: Функция является монотонно убывающей на всей своей области определения.

Ответ: График функции $y = x^{-\frac{1}{2}}$ — это кривая, расположенная в первом квадранте, которая монотонно убывает. Она имеет вертикальную асимптоту $x=0$ (ось OY), к которой стремится при $x \to 0^+$, и горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось OX), к которой стремится при $x \to +\infty$. График проходит через точки $(\frac{1}{4}, 2)$, (1, 1) и $(4, \frac{1}{2})$.