Номер 3.66, страница 123, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.66. Сравните числа:

1) $ \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{4}{5}} $ и $ \left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{4}{5}} $;

2) $ 0,132^{\sqrt{2}} $ и $ 0,132^{-\sqrt{2}} $;

3) $ (3\sqrt{2})^{-\frac{1}{3}} $ и $ (12)^{-\frac{1}{3}} $;

4) $ (\sqrt{76})^{-\frac{6}{11}} $ и $ (5\sqrt{3})^{-\frac{6}{11}} $.

1) Сравниваем числа $(\frac{2}{3})^{\frac{4}{5}}$ и $(\frac{3}{4})^{\frac{4}{5}}$. В данном случае показатели степеней одинаковы и равны $\frac{4}{5}$. Рассмотрим степенную функцию $y=x^a$, где $a = \frac{4}{5}$. Поскольку показатель степени $a > 0$, эта функция является возрастающей для положительных $\text{x}$. Это означает, что чем больше основание, тем больше значение степени. Теперь сравним основания: $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{4}$. Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 12: $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$ $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$ Так как $8 < 9$, то $\frac{8}{12} < \frac{9}{12}$, а значит $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$. Поскольку функция возрастающая, то и значения степеней будут находиться в том же соотношении: $(\frac{2}{3})^{\frac{4}{5}} < (\frac{3}{4})^{\frac{4}{5}}$.

Ответ: $(\frac{2}{3})^{\frac{4}{5}} < (\frac{3}{4})^{\frac{4}{5}}$.

2) Сравниваем числа $0,132^{\sqrt{2}}$ и $0,132^{-\sqrt{2}}$. Здесь основания степеней одинаковы и равны $0,132$. Рассмотрим показательную функцию $y=a^x$, где основание $a = 0,132$. Так как $0 < a < 1$, эта функция является убывающей. Это означает, что чем больше показатель степени, тем меньше значение функции. Теперь сравним показатели степеней: $\sqrt{2}$ и $-\sqrt{2}$. Поскольку $\sqrt{2} > 0$ и $-\sqrt{2} < 0$, очевидно, что $\sqrt{2} > -\sqrt{2}$. Так как функция убывающая, то для показателей $\sqrt{2} > -\sqrt{2}$ выполняется обратное неравенство для значений функции: $0,132^{\sqrt{2}} < 0,132^{-\sqrt{2}}$.

Ответ: $0,132^{\sqrt{2}} < 0,132^{-\sqrt{2}}$.

3) Сравниваем числа $(3\sqrt{2})^{-\frac{1}{3}}$ и $(12)^{-\frac{1}{3}}$. Показатели степеней одинаковы и равны $-\frac{1}{3}$. Рассмотрим степенную функцию $y=x^a$, где $a = -\frac{1}{3}$. Поскольку показатель степени $a < 0$, эта функция является убывающей для положительных $\text{x}$. Это означает, что чем больше основание, тем меньше значение степени. Теперь сравним основания: $3\sqrt{2}$ и $12$. Чтобы сравнить эти два положительных числа, возведем их в квадрат: $(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$. $12^2 = 144$. Так как $18 < 144$, то $3\sqrt{2} < 12$. Поскольку функция убывающая, то для оснований $3\sqrt{2} < 12$ выполняется обратное неравенство для значений степеней: $(3\sqrt{2})^{-\frac{1}{3}} > (12)^{-\frac{1}{3}}$.

Ответ: $(3\sqrt{2})^{-\frac{1}{3}} > (12)^{-\frac{1}{3}}$.

4) Сравниваем числа $(\sqrt{76})^{-\frac{6}{11}}$ и $(5\sqrt{3})^{-\frac{6}{11}}$. Показатели степеней одинаковы и равны $-\frac{6}{11}$. Рассмотрим степенную функцию $y=x^a$, где $a = -\frac{6}{11}$. Поскольку показатель степени $a < 0$, эта функция является убывающей для положительных $\text{x}$. Это означает, что чем больше основание, тем меньше значение степени. Теперь сравним основания: $\sqrt{76}$ и $5\sqrt{3}$. Чтобы сравнить эти два положительных числа, возведем их в квадрат: $(\sqrt{76})^2 = 76$. $(5\sqrt{3})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 25 \cdot 3 = 75$. Так как $76 > 75$, то $\sqrt{76} > 5\sqrt{3}$. Поскольку функция убывающая, то для оснований $\sqrt{76} > 5\sqrt{3}$ выполняется обратное неравенство для значений степеней: $(\sqrt{76})^{-\frac{6}{11}} < (5\sqrt{3})^{-\frac{6}{11}}$.

Ответ: $(\sqrt{76})^{-\frac{6}{11}} < (5\sqrt{3})^{-\frac{6}{11}}$.