Номер 3.68, страница 123, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.68. Какая функция убывающая и какая возрастающая:

1) $y = x^{\sqrt{2}};$

2) $y = x^{-\sqrt{3}};$

3) $y = x^{\sqrt[3]{\frac{2}{3}}};$

4) $y = x^{-\sqrt[3]{\frac{5}{2}}}?$

Характер монотонности (возрастание или убывание) степенной функции вида $y = x^a$ на ее области определения $x > 0$ зависит от знака показателя степени $\text{a}$. Если $a > 0$, функция является возрастающей. Если $a < 0$, функция является убывающей. Проанализируем каждую из заданных функций, чтобы определить знак показателя степени.

1) Дана функция $y = x^{\sqrt{2}}$.

Показатель степени $a = \sqrt{2}$.

Поскольку $\sqrt{2} > 0$, показатель степени положителен.

Следовательно, функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

2) Дана функция $y = x^{-\sqrt{3}}$.

Показатель степени $a = -\sqrt{3}$.

Поскольку $\sqrt{3} > 0$, то $a = -\sqrt{3} < 0$. Показатель степени отрицателен.

Следовательно, функция является убывающей.

Ответ: убывающая.

3) Дана функция $y = x^{\sqrt[3]{2/3}}$.

Показатель степени $a = \sqrt[3]{2/3}$.

Так как подкоренное выражение $2/3$ положительно, то и его корень третьей степени $a = \sqrt[3]{2/3}$ также является положительным числом ($a > 0$).

Следовательно, функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

4) Дана функция $y = x^{-\sqrt[5]{3/2}}$.

Показатель степени $a = -\sqrt[5]{3/2}$.

Подкоренное выражение $3/2$ положительно, значит, корень $\sqrt[5]{3/2}$ также является положительным числом. Показатель $\text{a}$ является числом, противоположным положительному, поэтому он отрицателен ($a < 0$).

Следовательно, функция является убывающей.

Ответ: убывающая.